Страница 192 номер 830, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте график функции \(y = x^2 + 11x - 4|x + 6| + 30\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
Если \(x + 6 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant -6\), то \(|x + 6| = x + 6\) и \[y = x^2 + 11x - 4(x + 6) + 30 = x^2 + 7x + 6.\] Если \(x + 6 < 0\), то есть \(x < -6\), то \(|x + 6| = -(x + 6)\) и \[y = x^2 + 11x + 4(x + 6) + 30 = x^2 + 15x + 54.\] Значит, \[y = \begin{cases} x^2 + 7x + 6 & \text{при } x \geqslant -6, \\ x^2 + 15x + 54 & \text{при } x < -6. \end{cases}\] Выделим полные квадраты: \[\begin{aligned} x^2 + 7x + 6 &= (x + 3{,}5)^2 - 6{,}25; \\ x^2 + 15x + 54 &= (x + 7{,}5)^2 - 2{,}25. \end{aligned}\] При \(x \geqslant -6\) график — часть параболы \(y = x^2 + 7x + 6\) с вершиной \((-3{,}5; -6{,}25)\), ветви направлены вверх; ещё точки: \((-5; -4)\), \((-2; -4)\), \((-1; 0)\), \((0; 6)\).
При \(x < -6\) график — часть параболы \(y = x^2 + 15x + 54\) с вершиной \((-7{,}5; -2{,}25)\), ветви направлены вверх; ещё точки: \((-7; -2)\), \((-8; -2)\), \((-9; 0)\), \((-10; 4)\).
При \(x = -6\) оба выражения равны нулю: \((-6)^2 + 7 \cdot (-6) + 6 = 36 - 42 + 6 = 0\) и \((-6)^2 + 15 \cdot (-6) + 54 = 36 - 90 + 54 = 0\), поэтому части графика соединяются в точке \((-6; 0)\), которая принадлежит графику.
Левая часть графика — при \(x < -6\), правая — при \(x \geqslant -6\).
При \(m < -6{,}25\) прямая \(y = m\) лежит ниже графика — общих точек нет.
При \(m = -6{,}25\) прямая \(y = m\) проходит через вершину \((-3{,}5; -6{,}25)\) правой части — одна общая точка.
При \(-6{,}25 < m < -2{,}25\) прямая \(y = m\) пересекает правую часть в двух точках, а с левой частью общих точек не имеет — две общие точки.
При \(m = -2{,}25\) прямая \(y = m\) проходит через вершину \((-7{,}5; -2{,}25)\) левой части и пересекает правую часть в двух точках — три общие точки.
При \(-2{,}25 < m < 0\) прямая \(y = m\) пересекает каждую из частей в двух точках — четыре общие точки.
При \(m = 0\) прямая \(y = 0\) проходит через точку \((-9; 0)\) левой части, точку соединения частей \((-6; 0)\) и точку \((-1; 0)\) правой части — три общие точки.
При \(m > 0\) прямая \(y = m\) пересекает каждую из частей в одной точке — две общие точки.
Ответ: \(m = -2{,}25\); \(m = 0\).
Постройте график функции \(y = x^2 + 11x - 4|x + 6| + 30\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
Раскроем модуль по определению. Если \(x + 6 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant -6\), то \(|x + 6| = x + 6\) и \[y = x^2 + 11x - 4(x + 6) + 30 = x^2 + 7x + 6.\] Если \(x + 6 < 0\), то есть \(x < -6\), то \(|x + 6| = -(x + 6)\) и \[y = x^2 + 11x + 4(x + 6) + 30 = x^2 + 15x + 54.\] Представим функцию как кусочно-заданную: \[y = \begin{cases} x^2 + 7x + 6 & \text{при } x \geqslant -6, \\ x^2 + 15x + 54 & \text{при } x < -6. \end{cases}\] На каждом из промежутков функция является квадратичной, поэтому её график состоит из частей двух парабол. Выделим полные квадраты: \[\begin{aligned} x^2 + 7x + 6 &= (x + 3{,}5)^2 - 6{,}25; \\ x^2 + 15x + 54 &= (x + 7{,}5)^2 - 2{,}25. \end{aligned}\] При \(x \geqslant -6\) график функции совпадает с параболой \(y = x^2 + 7x + 6\). Её ветви направлены вверх, а вершина расположена в точке \((-3{,}5; -6{,}25)\). Ещё несколько её точек: \((-5; -4)\), \((-2; -4)\), \((-1; 0)\), \((0; 6)\).
При \(x < -6\) график функции совпадает с параболой \(y = x^2 + 15x + 54\). Её ветви направлены вверх, а вершина расположена в точке \((-7{,}5; -2{,}25)\). Ещё несколько её точек: \((-7; -2)\), \((-8; -2)\), \((-9; 0)\), \((-10; 4)\).
При \(x = -6\) оба выражения равны нулю: \((-6)^2 + 7 \cdot (-6) + 6 = 36 - 42 + 6 = 0\) и \((-6)^2 + 15 \cdot (-6) + 54 = 36 - 90 + 54 = 0\). Поэтому части графика соединяются в точке \((-6; 0)\), которая принадлежит графику.
Построим график функции.
При каждом значении \(m\) графиком функции \(y = m\) является прямая, параллельная оси \(x\) или совпадающая с ней. Определим, при каких значениях \(m\) эта прямая имеет с графиком ровно три общие точки. Назовём левой частью графика его часть при \(x < -6\), правой — при \(x \geqslant -6\).
При \(m < -6{,}25\) прямая \(y = m\) лежит ниже графика — общих точек нет.
При \(m = -6{,}25\) прямая \(y = m\) проходит через вершину \((-3{,}5; -6{,}25)\) правой части — одна общая точка.
При \(-6{,}25 < m < -2{,}25\) прямая \(y = m\) пересекает правую часть в двух точках, а с левой частью общих точек не имеет — две общие точки.
При \(m = -2{,}25\) прямая \(y = m\) проходит через вершину \((-7{,}5; -2{,}25)\) левой части и пересекает правую часть в двух точках — три общие точки.
При \(-2{,}25 < m < 0\) прямая \(y = m\) пересекает каждую из частей в двух точках — четыре общие точки.
При \(m = 0\) прямая \(y = 0\) проходит через точку \((-9; 0)\) левой части, точку соединения частей \((-6; 0)\) и точку \((-1; 0)\) правой части — три общие точки.
При \(m > 0\) прямая \(y = m\) пересекает каждую из частей в одной точке — две общие точки.
Таким образом, прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки при \(m = -2{,}25\) и при \(m = 0\).
Ответ: \(m = -2{,}25\); \(m = 0\).
