Страница 190 номер 812, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте график функции \(y = x^2 + 2|x| - 3\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком не менее двух общих точек.
Так как \(x^2 = |x|^2\), функцию можно записать в виде \(y = |x|^2 + 2|x| - 3\), то есть \(y = f(|x|)\), где \(f(x) = x^2 + 2x - 3\).
Графиком функции \(y = x^2 + 2x - 3\) является парабола, ветви которой направлены вверх. \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1; \\ y_0 &= (-1)^2 + 2 \cdot (-1) - 3 = -4; \\ D &= 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16; \\ x_1 &= \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = -3; \\ x_2 &= \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = 1. \end{aligned}\] Парабола пересекает ось \(x\) в точках \((-3; 0)\) и \((1; 0)\), а ось \(y\) — в точке \((0; -3)\); ещё одна её точка — \((2; 5)\).
Вершина \((-1; -4)\) и точка \((-3; 0)\) лежат левее оси \(y\): эту часть параболы сотрём. Часть параболы правее оси \(y\) начинается в точке \((0; -3)\) и проходит через точки \((1; 0)\) и \((2; 5)\). Отразив её симметрично относительно оси \(y\), получим левую часть графика — она проходит через точки \((-1; 0)\) и \((-2; 5)\).
Абсцисса вершины параболы \(y = x^2 + 2x - 3\) равна \(-1\), а её ветви направлены вверх, поэтому при \(x \geqslant 0\) эта функция возрастает: правая часть графика поднимается от точки \((0; -3)\) и принимает каждое значение \(m \geqslant -3\) ровно один раз. Левая часть графика симметрична правой относительно оси \(y\), и общая у них только точка \((0; -3)\).
При \(m < -3\) общих точек нет.
При \(m = -3\) — одна общая точка \((0; -3)\).
При \(m > -3\) прямая \(y = m\) пересекает правую и левую части графика, по одной точке на каждой, — две общие точки.
Значит, прямая \(y = m\) имеет с графиком не менее двух общих точек при \(m > -3\).
Ответ: \(m > -3\).
Постройте график функции \(y = x^2 + 2|x| - 3\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком не менее двух общих точек.
Так как \(x^2 = |x|^2\), функцию можно записать в виде \(y = |x|^2 + 2|x| - 3\), то есть \(y = f(|x|)\), где \(f(x) = x^2 + 2x - 3\). Для построения графика функции вида \(y = f(|x|)\) нужно построить график функции \(y = f(x)\), стереть его часть, лежащую левее оси \(y\), а затем часть, лежащую правее оси \(y\), отразить симметрично относительно этой оси.
Графиком функции \(y = x^2 + 2x - 3\) является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём координаты вершины параболы и нули функции: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1; \\ y_0 &= (-1)^2 + 2 \cdot (-1) - 3 = -4; \\ D &= 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16; \\ x_1 &= \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = -3; \\ x_2 &= \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = 1. \end{aligned}\] Парабола пересекает ось \(x\) в точках \((-3; 0)\) и \((1; 0)\), а ось \(y\) — в точке \((0; -3)\); ещё одна её точка — \((2; 5)\).
Вершина \((-1; -4)\) и точка \((-3; 0)\) лежат левее оси \(y\): эту часть параболы сотрём. Часть параболы правее оси \(y\) начинается в точке \((0; -3)\) и проходит через точки \((1; 0)\) и \((2; 5)\). Отразив её симметрично относительно оси \(y\), получим левую часть графика — она проходит через точки \((-1; 0)\) и \((-2; 5)\). Построим график функции.
При каждом значении \(m\) графиком функции \(y = m\) является прямая, параллельная оси \(x\) или совпадающая с ней. Абсцисса вершины параболы \(y = x^2 + 2x - 3\) равна \(-1\), а её ветви направлены вверх, поэтому при \(x \geqslant 0\) эта функция возрастает: правая часть графика поднимается от точки \((0; -3)\) и принимает каждое значение \(m \geqslant -3\) ровно один раз. Левая часть графика симметрична правой относительно оси \(y\), и общая у них только точка \((0; -3)\).
При \(m < -3\) общих точек нет.
При \(m = -3\) — одна общая точка \((0; -3)\).
При \(m > -3\) прямая \(y = m\) пересекает правую и левую части графика, по одной точке на каждой, — две общие точки.
Таким образом, прямая \(y = m\) имеет с графиком не менее двух общих точек при \(m > -3\).
Ответ: \(m > -3\).
