Страница 190 номер 809, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте график функции \(y = x^2 - |4x + 4|\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
При \(x \geqslant -1\) имеем \(4x + 4 \geqslant 0\), поэтому \(|4x + 4| = 4x + 4\) и \(y = x^2 - (4x + 4) = x^2 - 4x - 4\). При \(x < -1\) имеем \(4x + 4 < 0\), поэтому \(|4x + 4| = -(4x + 4)\) и \(y = x^2 + (4x + 4) = x^2 + 4x + 4\). \[y = \begin{cases} x^2 - 4x - 4 & \text{при } x \geqslant -1, \\ x^2 + 4x + 4 & \text{при } x < -1. \end{cases}\]
При \(x < -1\) график функции совпадает с параболой \(y = x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2\). Её ветви направлены вверх, а вершина — точка \((-2; 0)\). Абсцисса вершины \(-2 < -1\), поэтому вершина принадлежит графику.
При \(x \geqslant -1\) график функции совпадает с параболой \(y = x^2 - 4x - 4\), ветви которой направлены вверх. \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2; \\ y_0 &= 2^2 - 4 \cdot 2 - 4 = -8. \end{aligned}\] Абсцисса вершины \(2 > -1\), поэтому вершина \((2; -8)\) принадлежит графику. Части графика соединяются в точке \((-1; 1)\): при \(x = -1\) обе формулы дают значение 1, так как \((-1 + 2)^2 = 1\) и \((-1)^2 - 4 \cdot (-1) - 4 = 1\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 2 & 4 & 5 \\ \hline y & 4 & 1 & 0 & 1 & -4 & -8 & -4 & 1 \\ \hline \end{array}\]
Левая часть графика (при \(x < -1\)) — часть параболы с вершиной \((-2; 0)\), правая часть (при \(x \geqslant -1\)) — часть параболы с вершиной \((2; -8)\).
При \(m < -8\) общих точек нет.
При \(m = -8\) прямая \(y = m\) проходит через вершину \((2; -8)\) — одна общая точка.
При \(-8 < m < 0\) прямая \(y = m\) пересекает правую часть графика в двух точках, левее и правее вершины \((2; -8)\), а с левой частью общих точек не имеет, так как на ней значения функции неотрицательны, — две общие точки.
При \(m = 0\) прямая \(y = m\) проходит через вершину \((-2; 0)\) левой части графика и пересекает правую часть в двух точках — три общие точки.
При \(0 < m < 1\) прямая \(y = m\) пересекает каждую из частей графика в двух точках — четыре общие точки.
При \(m = 1\) прямая \(y = m\) проходит через точку \((-1; 1)\), в которой соединяются части графика (эта точка считается один раз), и пересекает левую часть ещё в точке \((-3; 1)\), а правую — в точке \((5; 1)\): три общие точки.
При \(m > 1\) прямая \(y = m\) пересекает каждую из частей графика в одной точке — две общие точки.
Значит, прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки при \(m = 0\) и при \(m = 1\).
Ответ: \(m = 0\); \(m = 1\).
Постройте график функции \(y = x^2 - |4x + 4|\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
Выражение \(4x + 4\) под знаком модуля обращается в нуль при \(x = -1\). Раскроем модуль по определению. При \(x \geqslant -1\) имеем \(4x + 4 \geqslant 0\), поэтому \(|4x + 4| = 4x + 4\) и \(y = x^2 - (4x + 4) = x^2 - 4x - 4\). При \(x < -1\) имеем \(4x + 4 < 0\), поэтому \(|4x + 4| = -(4x + 4)\) и \(y = x^2 + (4x + 4) = x^2 + 4x + 4\). Представим функцию как кусочно-заданную: \[y = \begin{cases} x^2 - 4x - 4 & \text{при } x \geqslant -1, \\ x^2 + 4x + 4 & \text{при } x < -1. \end{cases}\] На каждом из промежутков функция является квадратичной. Следовательно, её график состоит из частей двух парабол.
При \(x < -1\) график функции совпадает с параболой \(y = x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2\). Её ветви направлены вверх, а вершина — точка \((-2; 0)\). Абсцисса вершины \(-2 < -1\), поэтому вершина принадлежит графику.
При \(x \geqslant -1\) график функции совпадает с параболой \(y = x^2 - 4x - 4\). Её ветви направлены вверх. Найдём координаты её вершины: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2; \\ y_0 &= 2^2 - 4 \cdot 2 - 4 = -8. \end{aligned}\] Абсцисса вершины \(2 > -1\), поэтому вершина \((2; -8)\) принадлежит графику. Части графика соединяются в точке \((-1; 1)\): при \(x = -1\) обе формулы дают значение 1, так как \((-1 + 2)^2 = 1\) и \((-1)^2 - 4 \cdot (-1) - 4 = 1\).
Найдём координаты ещё нескольких точек графика: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 2 & 4 & 5 \\ \hline y & 4 & 1 & 0 & 1 & -4 & -8 & -4 & 1 \\ \hline \end{array}\] Построим график функции.
При каждом значении \(m\) графиком функции \(y = m\) является прямая, параллельная оси \(x\) или совпадающая с ней. Левая часть графика (при \(x < -1\)) — часть параболы с вершиной \((-2; 0)\), правая часть (при \(x \geqslant -1\)) — часть параболы с вершиной \((2; -8)\).
При \(m < -8\) общих точек нет.
При \(m = -8\) прямая \(y = m\) проходит через вершину \((2; -8)\) — одна общая точка.
При \(-8 < m < 0\) прямая \(y = m\) пересекает правую часть графика в двух точках, левее и правее вершины \((2; -8)\), а с левой частью общих точек не имеет, так как на ней значения функции неотрицательны, — две общие точки.
При \(m = 0\) прямая \(y = m\) проходит через вершину \((-2; 0)\) левой части графика и пересекает правую часть в двух точках — три общие точки.
При \(0 < m < 1\) прямая \(y = m\) пересекает каждую из частей графика в двух точках — четыре общие точки.
При \(m = 1\) прямая \(y = m\) проходит через точку \((-1; 1)\), в которой соединяются части графика (эта точка считается один раз), и пересекает левую часть ещё в точке \((-3; 1)\), а правую — в точке \((5; 1)\): три общие точки.
При \(m > 1\) прямая \(y = m\) пересекает каждую из частей графика в одной точке — две общие точки.
Таким образом, прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки при \(m = 0\) и при \(m = 1\).
Ответ: \(m = 0\); \(m = 1\).
