Страница 192 номер 827, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте график функции \[y = \begin{cases} x^2 + 4x + 7 & \text{при } x \ge -4, \\ -\frac{16}{x} & \text{при } x < -4. \end{cases}\] Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно одну общую точку.
При \(x \geqslant -4\) график — часть параболы \(y = x^2 + 4x + 7 = (x + 2)^2 + 3\) с вершиной \((-2; 3)\), ветви направлены вверх; ещё точки: \((-4; 7)\), \((-3; 4)\), \((-1; 4)\), \((0; 7)\). Точка \((-4; 7)\) графику принадлежит.
При \(x < -4\) график — часть гиперболы \(y = -\frac{16}{x}\); её асимптоты — оси координат, ветви лежат во II и IV четвертях. \[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -10 & -8 & -5 \\ \hline y & 1{,}6 & 2 & 3{,}2 \\ \hline \end{array}\] При \(x = -4\) получаем \(-\frac{16}{-4} = 4\) — точка \((-4; 4)\) графику не принадлежит.
При \(x < -4\) имеем \(-x > 4\), поэтому \(0 < -\frac{16}{x} < 4\): эта часть графика лежит выше оси \(x\) и ниже прямой \(y = 4\).
Весь график лежит выше оси \(x\): при \(x \geqslant -4\) значения функции не меньше 3, а при \(x < -4\) они положительны.
При \(m < 0\) общих точек нет.
При \(m = 0\) общих точек тоже нет: прямая \(y = 0\) — ось \(x\), асимптота гиперболы.
При \(0 < m < 3\) прямая \(y = m\) пересекает только часть гиперболы — одна общая точка.
При \(m = 3\) прямая \(y = 3\) проходит через вершину параболы \((-2; 3)\) и пересекает часть гиперболы — две общие точки.
При \(3 < m < 4\) прямая \(y = m\) пересекает часть параболы в двух точках, а часть гиперболы — в одной: всего три общие точки.
При \(m = 4\) прямая \(y = 4\) проходит через выколотую точку \((-4; 4)\) и с частью гиперболы общих точек не имеет; часть параболы она пересекает в точках \((-3; 4)\) и \((-1; 4)\) — две общие точки.
При \(4 < m < 7\) прямая \(y = m\) пересекает только часть параболы, в двух точках, — две общие точки.
При \(m = 7\) прямая \(y = 7\) проходит через точки \((-4; 7)\) и \((0; 7)\) части параболы — две общие точки.
При \(m > 7\) прямая \(y = m\) пересекает только часть параболы правее её вершины — одна общая точка.
Ответ: \(0 < m < 3\); \(m > 7\).
Постройте график функции \[y = \begin{cases} x^2 + 4x + 7 & \text{при } x \ge -4, \\ -\frac{16}{x} & \text{при } x < -4. \end{cases}\] Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно одну общую точку.
Функция является кусочно-заданной, поэтому её график строим на каждом из промежутков в отдельности.
При \(x \geqslant -4\) график функции совпадает с параболой \(y = x^2 + 4x + 7\). Выделим полный квадрат: \(x^2 + 4x + 7 = (x + 2)^2 + 3\). Вершина параболы находится в точке \((-2; 3)\), а её ветви направлены вверх. Найдём координаты ещё нескольких точек: \((-4; 7)\), \((-3; 4)\), \((-1; 4)\), \((0; 7)\). Удалим часть параболы, которая соответствует \(x < -4\); точка \((-4; 7)\) графику принадлежит.
При \(x < -4\) график функции совпадает с гиперболой \(y = -\frac{16}{x}\). Её асимптоты — оси координат, а ветви лежат во II и IV координатных четвертях. Найдём координаты нескольких точек: \[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -10 & -8 & -5 \\ \hline y & 1{,}6 & 2 & 3{,}2 \\ \hline \end{array}\] При \(x = -4\) получаем \(-\frac{16}{-4} = 4\). Удалим часть гиперболы, которая соответствует \(x \geqslant -4\); точка \((-4; 4)\) графику не принадлежит. При \(x < -4\) имеем \(-x > 4\), поэтому \(0 < -\frac{16}{x} < 4\): эта часть графика лежит выше оси \(x\) и ниже прямой \(y = 4\).
Построим график функции.
При каждом значении \(m\) графиком функции \(y = m\) является прямая, параллельная оси \(x\) или совпадающая с ней. Определим, при каких значениях \(m\) эта прямая имеет с графиком ровно одну общую точку. Весь график лежит выше оси \(x\): при \(x \geqslant -4\) значения функции не меньше 3, а при \(x < -4\) они положительны.
При \(m < 0\) общих точек нет.
При \(m = 0\) общих точек тоже нет: прямая \(y = 0\) — ось \(x\), асимптота гиперболы.
При \(0 < m < 3\) прямая \(y = m\) пересекает только часть гиперболы — одна общая точка.
При \(m = 3\) прямая \(y = 3\) проходит через вершину параболы \((-2; 3)\) и пересекает часть гиперболы — две общие точки.
При \(3 < m < 4\) прямая \(y = m\) пересекает часть параболы в двух точках, а часть гиперболы — в одной: всего три общие точки.
При \(m = 4\) прямая \(y = 4\) проходит через выколотую точку \((-4; 4)\) и с частью гиперболы общих точек не имеет; часть параболы она пересекает в точках \((-3; 4)\) и \((-1; 4)\) — две общие точки.
При \(4 < m < 7\) прямая \(y = m\) пересекает только часть параболы, в двух точках, — две общие точки.
При \(m = 7\) прямая \(y = 7\) проходит через точки \((-4; 7)\) и \((0; 7)\) части параболы — две общие точки.
При \(m > 7\) прямая \(y = m\) пересекает только часть параболы правее её вершины — одна общая точка.
Таким образом, прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно одну общую точку при \(0 < m < 3\) и при \(m > 7\).
Ответ: \(0 < m < 3\); \(m > 7\).
