Страница 191 номер 819, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте график функции \(y = -4 - \frac{x + 1}{x^2 + x}\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) не имеет с графиком общих точек.
Так как \(x^2 + x = x(x + 1)\), знаменатель дроби равен нулю при \(x = 0\) и при \(x = -1\) — там функция не определена. При остальных \(x\) множитель \(x + 1\) не равен нулю — сократим на него дробь: \[-4 - \frac{x + 1}{x^2 + x} = -4 - \frac{x + 1}{x(x + 1)} = -4 - \frac{1}{x}.\] График — гипербола \(y = -4 - \frac{1}{x}\) с выколотой точкой \((-1; -3)\): \(-4 - \frac{1}{-1} = -3\).
Это гипербола \(y = -\frac{1}{x}\), сдвинутая на 4 единицы вниз; асимптоты — прямые \(x = 0\) и \(y = -4\). Ветви гиперболы \(y = -\frac{1}{x}\) лежат во II и IV четвертях, поэтому после сдвига левая ветвь (\(x < 0\)) лежит выше прямой \(y = -4\), а правая (\(x > 0\)) — ниже. \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -0{,}5 & -0{,}25 & 0{,}5 & 1 & 2 \\ \hline y & -3{,}5 & -2 & 0 & -6 & -5 & -4{,}5 \\ \hline \end{array}\]
При \(m < -4\) прямая \(y = m\) лежит ниже асимптоты \(y = -4\) и пересекает только правую ветвь — одна общая точка.
При \(m = -4\) общих точек нет: прямая \(y = -4\) — асимптота, а равенство \(-4 - \frac{1}{x} = -4\) означало бы, что \(\frac{1}{x} = 0\), а это невозможно.
При \(-4 < m < -3\) прямая \(y = m\) пересекает только левую ветвь — одна общая точка.
При \(m = -3\) прямая \(y = m\) проходит через выколотую точку \((-1; -3)\), а других точек с ординатой \(-3\) на гиперболе нет: из \(-4 - \frac{1}{x} = -3\) следует \(\frac{1}{x} = -1\), то есть \(x = -1\). Общих точек нет.
При \(m > -3\) прямая \(y = m\) снова пересекает только левую ветвь — одна общая точка.
Ответ: \(m = -4\); \(m = -3\).
Постройте график функции \(y = -4 - \frac{x + 1}{x^2 + x}\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) не имеет с графиком общих точек.
Функция не определена, если знаменатель дроби \(\frac{x + 1}{x^2 + x}\) равен нулю. Так как \(x^2 + x = x(x + 1)\), это происходит при \(x = 0\) и при \(x = -1\). При остальных значениях \(x\) множитель \(x + 1\) не равен нулю, и на него можно сократить дробь: \[-4 - \frac{x + 1}{x^2 + x} = -4 - \frac{x + 1}{x(x + 1)} = -4 - \frac{1}{x}.\] Следовательно, графиком функции является гипербола \(y = -4 - \frac{1}{x}\) с выколотой точкой, абсцисса которой равна \(-1\). Ордината этой точки — значение выражения \(-4 - \frac{1}{x}\) при \(x = -1\): \(-4 - \frac{1}{-1} = -3\). Значит, выколота точка \((-1; -3)\).
Гипербола \(y = -4 - \frac{1}{x}\) получается из гиперболы \(y = -\frac{1}{x}\) сдвигом на 4 единицы вниз, её асимптоты — прямые \(x = 0\) и \(y = -4\). Ветви гиперболы \(y = -\frac{1}{x}\) лежат во II и IV координатных четвертях, поэтому после сдвига левая ветвь (\(x < 0\)) лежит выше прямой \(y = -4\), а правая (\(x > 0\)) — ниже. Найдём координаты нескольких точек: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -0{,}5 & -0{,}25 & 0{,}5 & 1 & 2 \\ \hline y & -3{,}5 & -2 & 0 & -6 & -5 & -4{,}5 \\ \hline \end{array}\] Построим график функции, выколов из него точку \((-1; -3)\).
При каждом значении \(m\) графиком функции \(y = m\) является прямая, параллельная оси \(x\) или совпадающая с ней. Определим, при каких значениях \(m\) эта прямая не имеет с графиком общих точек.
При \(m < -4\) прямая \(y = m\) лежит ниже асимптоты \(y = -4\) и пересекает только правую ветвь гиперболы — одна общая точка.
При \(m = -4\) общих точек нет: прямая \(y = -4\) — асимптота гиперболы, а равенство \(-4 - \frac{1}{x} = -4\) означало бы, что \(\frac{1}{x} = 0\), а это невозможно.
При \(-4 < m < -3\) прямая \(y = m\) пересекает только левую ветвь гиперболы — одна общая точка.
При \(m = -3\) прямая \(y = m\) проходит через выколотую точку \((-1; -3)\). Других точек с ординатой \(-3\) на гиперболе нет: из равенства \(-4 - \frac{1}{x} = -3\) следует \(\frac{1}{x} = -1\), то есть \(x = -1\). Значит, общих точек нет.
При \(m > -3\) прямая \(y = m\) снова пересекает только левую ветвь гиперболы — одна общая точка.
Таким образом, прямая \(y = m\) не имеет с графиком функции общих точек при \(m = -4\) и при \(m = -3\).
Ответ: \(m = -4\); \(m = -3\).
