Страница 191 номер 817, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте график функции \(y = \frac{4x - 8}{x^2 - 2x}\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) не имеет с графиком общих точек.
Функция не определена, если знаменатель дроби равен нулю: \(x^2 - 2x = x(x - 2)\), то есть при \(x = 0\) или \(x = 2\). Для других значений \(x\) сократим дробь на \(x - 2\) — этот множитель не равен нулю: \[y = \frac{4x - 8}{x^2 - 2x} = \frac{4(x - 2)}{x(x - 2)} = \frac{4}{x}.\] Следовательно, графиком функции является гипербола \(y = \frac{4}{x}\) с выколотой точкой, абсцисса которой равна 2. Её ордината по упрощённой формуле: \(\frac{4}{2} = 2\), то есть выколота точка \((2; 2)\). Асимптоты гиперболы \(y = \frac{4}{x}\) — оси координат.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & -2 & -1 & 1 & 4 \\ \hline y & -1 & -2 & -4 & 4 & 1 \\ \hline \end{array}\]
Значение \(m \ne 0\) функция \(y = \frac{4}{x}\) принимает ровно при одном значении \(x\), а именно при \(x = \frac{4}{m}\); значения 0 она не принимает.
При \(m < 0\) прямая \(y = m\) пересекает график ровно в одной точке.
При \(m = 0\) прямая \(y = m\) совпадает с осью \(x\) — асимптотой гиперболы — и не имеет с графиком общих точек.
При \(0 < m < 2\) будет одна общая точка.
При \(m = 2\) прямая \(y = m\) проходит через выколотую точку \((2; 2)\). Других точек гиперболы на этой прямой нет, поэтому общих точек нет.
При \(m > 2\) будет одна общая точка.
Значит, прямая \(y = m\) не имеет общих точек с графиком при \(m = 0\) и при \(m = 2\).
Ответ: \(m = 0\); \(m = 2\).
Постройте график функции \(y = \frac{4x - 8}{x^2 - 2x}\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) не имеет с графиком общих точек.
Функция не определена, если знаменатель дроби равен нулю: \(x^2 - 2x = x(x - 2)\), то есть при \(x = 0\) или \(x = 2\). Для других значений \(x\) разложим числитель на множители и сократим дробь на \(x - 2\) — этот множитель не равен нулю: \[y = \frac{4x - 8}{x^2 - 2x} = \frac{4(x - 2)}{x(x - 2)} = \frac{4}{x}.\] Следовательно, графиком функции является гипербола \(y = \frac{4}{x}\) с выколотой точкой, абсцисса которой равна 2. Ординату этой точки найдём по упрощённой формуле: \(\frac{4}{2} = 2\), то есть выколота точка \((2; 2)\). Асимптоты гиперболы \(y = \frac{4}{x}\) — оси координат.
Построим график функции, найдя координаты нескольких точек: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & -2 & -1 & 1 & 4 \\ \hline y & -1 & -2 & -4 & 4 & 1 \\ \hline \end{array}\]
При каждом значении \(m\) графиком функции \(y = m\) является прямая, параллельная оси \(x\) или совпадающая с ней. Значение \(m \ne 0\) функция \(y = \frac{4}{x}\) принимает ровно при одном значении \(x\), а именно при \(x = \frac{4}{m}\); значения 0 она не принимает.
При \(m < 0\) прямая \(y = m\) пересекает график ровно в одной точке.
При \(m = 0\) прямая \(y = m\) совпадает с осью \(x\) — асимптотой гиперболы — и не имеет с графиком общих точек.
При \(0 < m < 2\) будет одна общая точка.
При \(m = 2\) прямая \(y = m\) проходит через выколотую точку \((2; 2)\). Других точек гиперболы на этой прямой нет, поэтому общих точек нет.
При \(m > 2\) будет одна общая точка.
Таким образом, прямая \(y = m\) не имеет общих точек с графиком при \(m = 0\) и при \(m = 2\).
Ответ: \(m = 0\); \(m = 2\).
