Страница 191 номер 821, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте график функции \(y = \frac{(x^2 - 3x) \cdot |x|}{x - 3}\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) не имеет с графиком ни одной общей точки.
Выражение определено при \(x \ne 3\). Так как \(x^2 - 3x = x(x - 3)\), а при \(x \ne 3\) множитель \(x - 3\) не равен нулю, сократим на него дробь: \[\frac{(x^2 - 3x) \cdot |x|}{x - 3} = \frac{x(x - 3) \cdot |x|}{x - 3} = x|x|.\] Значит, \[y = \begin{cases} x^2 & \text{при } x \geqslant 0 \text{ и } x \ne 3, \\ -x^2 & \text{при } x < 0. \end{cases}\] При \(x \geqslant 0\) график — часть параболы \(y = x^2\) (точки \((0; 0)\), \((1; 1)\), \((2; 4)\)), при \(x < 0\) — часть параболы \(y = -x^2\) (точки \((-1; -1)\), \((-2; -4)\)).
\(3 \cdot |3| = 9\) — ордината выколотой точки \((3; 9)\).
При \(m < 0\) прямая \(y = m\) пересекает только часть параболы \(y = -x^2\) — одна общая точка.
При \(m = 0\) прямая \(y = 0\) (ось \(x\)) имеет с графиком одну общую точку \(O(0; 0)\).
При \(0 < m < 9\) прямая \(y = m\) пересекает только часть параболы \(y = x^2\) — одна общая точка.
При \(m = 9\) прямая \(y = m\) проходит через выколотую точку \((3; 9)\), а других точек с ординатой 9 на графике нет: при \(x < 0\) значения \(-x^2\) отрицательны, а при \(x \geqslant 0\) равенство \(x^2 = 9\) выполняется только при \(x = 3\). Общих точек нет.
При \(m > 9\) прямая \(y = m\) снова пересекает часть параболы \(y = x^2\) в одной точке.
Ответ: \(m = 9\).
Постройте график функции \(y = \frac{(x^2 - 3x) \cdot |x|}{x - 3}\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) не имеет с графиком ни одной общей точки.
Выражение, задающее функцию, определено при \(x \ne 3\). Разложим числитель на множители: \(x^2 - 3x = x(x - 3)\). При \(x \ne 3\) множитель \(x - 3\) не равен нулю, и на него можно сократить дробь: \[\frac{(x^2 - 3x) \cdot |x|}{x - 3} = \frac{x(x - 3) \cdot |x|}{x - 3} = x|x|.\] Таким образом, на всей области определения функции выполнено равенство \(y = x|x|\). Раскроем модуль по определению: \(|x| = x\) при \(x \geqslant 0\) и \(|x| = -x\) при \(x < 0\). Представим функцию как кусочно-заданную: \[y = \begin{cases} x^2 & \text{при } x \geqslant 0 \text{ и } x \ne 3, \\ -x^2 & \text{при } x < 0. \end{cases}\] При \(x \geqslant 0\) график функции совпадает с частью параболы \(y = x^2\) (точки \((0; 0)\), \((1; 1)\), \((2; 4)\)), а при \(x < 0\) — с частью параболы \(y = -x^2\) (точки \((-1; -1)\), \((-2; -4)\)). Ордината выколотой точки — значение выражения \(x|x|\) при \(x = 3\): \(3 \cdot |3| = 9\). Построим график функции, выколов из него точку \((3; 9)\).
При каждом значении \(m\) графиком функции \(y = m\) является прямая, параллельная оси \(x\) или совпадающая с ней. Определим, при каких значениях \(m\) эта прямая не имеет с графиком ни одной общей точки.
При \(m < 0\) прямая \(y = m\) пересекает только часть параболы \(y = -x^2\) — одна общая точка.
При \(m = 0\) прямая \(y = 0\) (ось \(x\)) имеет с графиком одну общую точку \(O(0; 0)\).
При \(0 < m < 9\) прямая \(y = m\) пересекает только часть параболы \(y = x^2\) — одна общая точка.
При \(m = 9\) прямая \(y = m\) проходит через выколотую точку \((3; 9)\). Других точек с ординатой 9 на графике нет: при \(x < 0\) значения \(-x^2\) отрицательны, а при \(x \geqslant 0\) равенство \(x^2 = 9\) выполняется только при \(x = 3\). Значит, общих точек нет.
При \(m > 9\) прямая \(y = m\) снова пересекает часть параболы \(y = x^2\) в одной точке.
Таким образом, прямая \(y = m\) не имеет с графиком ни одной общей точки при \(m = 9\).
Ответ: \(m = 9\).
