Страница 182 номер 791, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Баржа прошла по течению реки 40 км и, повернув обратно, прошла ещё 30 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
Дано:
\(s_1 = 40\) км — путь по течению
\(s_2 = 30\) км — путь против течения
\(t = 5\) ч — время на весь путь
\(v_{\text{теч}} = 5\) км/ч — скорость течения
Найти: \(v\) — собственная скорость баржи.
Решение:
Обозначим собственную скорость баржи через \(x\) км/ч, \(x > 5\) (иначе баржа не смогла бы идти против течения). Скорость баржи по течению — \((x + 5)\) км/ч, против течения — \((x - 5)\) км/ч. По течению баржа шла \(\frac{40}{x + 5}\) ч, против течения — \(\frac{30}{x - 5}\) ч, а всего 5 ч.
При \(x > 5\) общий знаменатель дробей \((x + 5)(x - 5)\) положителен: \[\begin{aligned} \frac{40}{x + 5} + \frac{30}{x - 5} &= 5; \qquad | \cdot (x + 5)(x - 5) \\ 40(x - 5) + 30(x + 5) &= 5(x + 5)(x - 5); \\ 40x - 200 + 30x + 150 &= 5(x^2 - 25); \\ 70x - 50 &= 5x^2 - 125; \\ 5x^2 - 70x - 75 &= 0; \qquad | : 5 \\ x^2 - 14x - 15 &= 0; \\ D &= (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256; \\ x_1 &= \frac{14 - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{14 - 16}{2} = -1; \\ x_2 &= \frac{14 + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{14 + 16}{2} = 15. \end{aligned}\] Скорость не может быть отрицательной, поэтому корень \(-1\) не подходит; корень 15 удовлетворяет условию \(x > 5\). Значит, собственная скорость баржи равна 15 км/ч.
Проверка: по течению баржа шла со скоростью \(15 + 5 = 20\) (км/ч) и затратила \(40 : 20 = 2\) (ч), против течения — со скоростью \(15 - 5 = 10\) (км/ч) и затратила \(30 : 10 = 3\) (ч); всего \(2 + 3 = 5\) (ч).
Ответ: 15 км/ч.
Баржа прошла по течению реки 40 км и, повернув обратно, прошла ещё 30 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
Дано:
\(s_1 = 40\) км — путь по течению
\(s_2 = 30\) км — путь против течения
\(t = 5\) ч — время на весь путь
\(v_{\text{теч}} = 5\) км/ч — скорость течения
Найти: \(v\) — собственная скорость баржи.
Решение:
Обозначим собственную скорость баржи через \(x\) км/ч при условии \(x > 5\) (иначе баржа не смогла бы идти против течения). Тогда скорости баржи по течению и против течения равны \((x + 5)\) км/ч и \((x - 5)\) км/ч соответственно. По течению баржа шла \(\frac{40}{x + 5}\) ч, против течения — \(\frac{30}{x - 5}\) ч, а всего 5 ч.
Составим уравнение и преобразуем его, воспользовавшись тем, что \(x > 5\). При \(x > 5\) общий знаменатель дробей \((x + 5)(x - 5)\) положителен; умножим обе части уравнения на положительное число \((x + 5)(x - 5)\), раскроем скобки, перенесём все слагаемые в одну часть и разделим обе части на 5: \[\begin{aligned} \frac{40}{x + 5} + \frac{30}{x - 5} &= 5; \qquad | \cdot (x + 5)(x - 5) \\ 40(x - 5) + 30(x + 5) &= 5(x + 5)(x - 5); \\ 40x - 200 + 30x + 150 &= 5(x^2 - 25); \\ 70x - 50 &= 5x^2 - 125; \\ 5x^2 - 70x - 75 &= 0; \qquad | : 5 \\ x^2 - 14x - 15 &= 0; \\ D &= (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256. \end{aligned}\] Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два корня: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{14 - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{14 - 16}{2} = -1; \\ x_2 &= \frac{14 + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{14 + 16}{2} = 15. \end{aligned}\] Скорость не может быть отрицательной, поэтому первый корень не подходит; второй корень удовлетворяет условию \(x > 5\). Значит, собственная скорость баржи равна 15 км/ч.
Проверка: по течению баржа шла со скоростью \(15 + 5 = 20\) (км/ч) и затратила \(40 : 20 = 2\) (ч), против течения — со скоростью \(15 - 5 = 10\) (км/ч) и затратила \(30 : 10 = 3\) (ч); всего \(2 + 3 = 5\) (ч).
Ответ: 15 км/ч.
