Страница 183 номер 802, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Дано:
\(p_1 = 60\) % — концентрация первого раствора
\(p_2 = 30\) % — концентрация второго раствора
\(m = 5\) кг — масса добавки: чистой воды или 90%-го раствора
\(q_1 = 20\) % — концентрация смеси с водой
\(q_2 = 70\) % — концентрация смеси с 90%-м раствором

Найти: \(m_1\) — масса 60%-го раствора.

Решение:

Обозначим массы 60%-го и 30%-го растворов через \(x\) и \(y\) кг соответственно, где \(x > 0\) и \(y > 0\). Тогда в первом растворе содержится \(\frac{x \cdot 60\%}{100\%} = 0{,}6x\) кг кислоты, а во втором — \(\frac{y \cdot 30\%}{100\%} = 0{,}3y\) кг кислоты; вместе — \((0{,}6x + 0{,}3y)\) кг.

В первом случае к растворам добавили 5 кг чистой воды. Масса смеси стала \((x + y + 5)\) кг, а кислоты в ней по-прежнему \((0{,}6x + 0{,}3y)\) кг: вода кислоты не добавляет. Концентрация смеси 20 %, поэтому кислоты в ней \(\frac{(x + y + 5) \cdot 20\%}{100\%} = 0{,}2(x + y + 5)\) кг. Составим первое уравнение, умножим обе его части на 10, раскроем скобки и перенесём слагаемые с переменными в левую часть: \[\begin{aligned} 0{,}6x + 0{,}3y &= 0{,}2(x + y + 5); \qquad | \cdot 10 \\ 6x + 3y &= 2(x + y + 5); \\ 6x + 3y &= 2x + 2y + 10; \\ 6x - 2x + 3y - 2y &= 10; \\ 4x + y &= 10. \end{aligned}\] Во втором случае вместо воды добавили 5 кг 90%-го раствора, в нём \(\frac{5 \cdot 90\%}{100\%} = 4{,}5\) (кг) кислоты. Масса смеси снова \((x + y + 5)\) кг, кислоты в ней \((0{,}6x + 0{,}3y + 4{,}5)\) кг, а концентрация 70 %, поэтому кислоты в ней \(0{,}7(x + y + 5)\) кг. Составим второе уравнение, умножим обе его части на 10, раскроем скобки, перенесём слагаемые с переменными в правую часть, а числа — в левую: \[\begin{aligned} 0{,}6x + 0{,}3y + 4{,}5 &= 0{,}7(x + y + 5); \qquad | \cdot 10 \\ 6x + 3y + 45 &= 7(x + y + 5); \\ 6x + 3y + 45 &= 7x + 7y + 35; \\ 45 - 35 &= 7x - 6x + 7y - 3y; \\ 10 &= x + 4y. \end{aligned}\] Получили систему уравнений: \[\begin{cases} 4x + y = 10, \\ x + 4y = 10. \end{cases}\] Из первого уравнения \(y = 10 - 4x\). Подставим это выражение во второе уравнение, раскроем скобки, приведём подобные слагаемые, перенесём число 40 в правую часть с противоположным знаком и разделим обе части на \(-15\): \[\begin{aligned} x + 4(10 - 4x) &= 10; \\ x + 40 - 16x &= 10; \\ -15x &= 10 - 40; \\ -15x &= -30; \qquad | : (-15) \\ x &= 2. \end{aligned}\] Тогда \(y = 10 - 4 \cdot 2 = 2\). Оба числа положительны. Значит, для получения смеси использовали 2 кг 60%-го раствора (и столько же 30%-го).

Проверка: в обоих случаях масса смеси равна \(2 + 2 + 5 = 9\) (кг), а кислоты в двух растворах \(0{,}6 \cdot 2 + 0{,}3 \cdot 2 = 1{,}2 + 0{,}6 = 1{,}8\) (кг). С водой концентрация смеси равна \(\frac{1{,}8}{9} \cdot 100\% = 20\%\), с 90%-м раствором кислоты в смеси \(1{,}8 + 4{,}5 = 6{,}3\) (кг), и концентрация равна \(\frac{6{,}3}{9} \cdot 100\% = 70\%\).

Ответ: 2 кг.