Страница 191 номер 816, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте график функции \(y = \frac{(x^2 + 2x)|x|}{x + 2}\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) не имеет с графиком ни одной общей точки.
Выражение, задающее функцию, определено при \(x \ne -2\). Сократим дробь на \(x + 2\) — при \(x \ne -2\) этот множитель не равен нулю: \[\frac{(x^2 + 2x)|x|}{x + 2} = \frac{x(x + 2)|x|}{x + 2} = x|x|.\] Следовательно, \[y = \begin{cases} x^2 & \text{при } x \geqslant 0, \\ -x^2 & \text{при } x < 0 \text{ и } x \ne -2. \end{cases}\] При \(x \geqslant 0\) график функции совпадает с правой ветвью параболы \(y = x^2\), а при \(x < 0\) — с левой ветвью параболы \(y = -x^2\), из которой выколота точка с абсциссой \(-2\). Её ордината по упрощённой формуле: \(-(-2)^2 = -4\), то есть выколота точка \((-2; -4)\).
Таблица значений выражения \(x|x|\): \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & -4 & -1 & 0 & 1 & 4 \\ \hline \end{array}\]
Уравнение \(x|x| = m\) при любом \(m\) имеет ровно один корень: при \(x \geqslant 0\) выражение \(x|x|\) равно \(x^2\) и неотрицательно, при \(x < 0\) оно равно \(-x^2\) и отрицательно, поэтому при \(m \geqslant 0\) корень равен \(\sqrt{m}\), а при \(m < 0\) он равен \(-\sqrt{-m}\).
При \(m < -4\) прямая \(y = m\) пересекает график ровно в одной точке.
При \(m = -4\) прямая \(y = m\) проходит через выколотую точку \((-2; -4)\): корень уравнения \(x|x| = -4\) равен \(-\sqrt{4} = -2\), и других точек графика функции \(y = x|x|\) на этой прямой нет — точек пересечения нет.
При \(m > -4\) прямая \(y = m\) снова пересекает график ровно в одной точке.
Значит, прямая \(y = m\) не имеет с графиком ни одной общей точки при \(m = -4\).
Ответ: \(m = -4\).
Постройте график функции \(y = \frac{(x^2 + 2x)|x|}{x + 2}\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) не имеет с графиком ни одной общей точки.
Выражение, задающее функцию, определено при \(x \ne -2\). Упростим это выражение: разложим многочлен \(x^2 + 2x\) на множители и сократим дробь на \(x + 2\) — при \(x \ne -2\) этот множитель не равен нулю: \[\frac{(x^2 + 2x)|x|}{x + 2} = \frac{x(x + 2)|x|}{x + 2} = x|x|.\] Таким образом, на всей области определения функции выполнено равенство \(y = x|x|\). Раскроем модуль и представим эту функцию как кусочно-заданную: \[y = \begin{cases} x^2 & \text{при } x \geqslant 0, \\ -x^2 & \text{при } x < 0 \text{ и } x \ne -2. \end{cases}\] При \(x \geqslant 0\) график функции совпадает с правой ветвью параболы \(y = x^2\), а при \(x < 0\) — с левой ветвью параболы \(y = -x^2\), из которой выколота точка с абсциссой \(-2\). Ординату этой точки найдём по упрощённой формуле: \(-(-2)^2 = -4\), то есть выколота точка \((-2; -4)\).
Составим таблицу значений выражения \(x|x|\) и построим график функции, выколов из него точку \((-2; -4)\): \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & -4 & -1 & 0 & 1 & 4 \\ \hline \end{array}\]
При каждом значении \(m\) графиком функции \(y = m\) является прямая, параллельная оси \(x\) или совпадающая с ней. Уравнение \(x|x| = m\) при любом \(m\) имеет ровно один корень: при \(x \geqslant 0\) выражение \(x|x|\) равно \(x^2\) и неотрицательно, при \(x < 0\) оно равно \(-x^2\) и отрицательно, поэтому при \(m \geqslant 0\) корень равен \(\sqrt{m}\), а при \(m < 0\) он равен \(-\sqrt{-m}\).
При \(m < -4\) прямая \(y = m\) пересекает график ровно в одной точке.
При \(m = -4\) прямая \(y = m\) проходит через выколотую точку \((-2; -4)\): корень уравнения \(x|x| = -4\) равен \(-\sqrt{4} = -2\), и других точек графика функции \(y = x|x|\) на этой прямой нет. Таким образом, точек пересечения нет.
При \(m > -4\) прямая \(y = m\) снова пересекает график ровно в одной точке.
Следовательно, прямая \(y = m\) не имеет с графиком ни одной общей точки при \(m = -4\).
Ответ: \(m = -4\).
