Страница 182 номер 798, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Чтобы накачать в бак 117 литров воды, требуется на 5 минут больше времени, чем на то, чтобы выкачать из него 96 литров воды. За одну минуту можно выкачать на 3 литра воды больше, чем накачать. Сколько литров воды накачивается в бак за минуту?
Дано:
\(V_1 = 117\) л — накачивают в бак
\(V_2 = 96\) л — выкачивают из бака
\(p_2 = p_1 + 3\) л/мин — выкачивают за минуту (\(p_1\) — накачивают за минуту)
\(t_1 - t_2 = 5\) мин — накачать 117 л дольше, чем выкачать 96 л
Найти: \(p_1\) — сколько литров воды накачивается в бак за минуту.
Решение:
Пусть \(p_1 = x\) л/мин, где \(x\) — положительное число, тогда \(p_2 = (x + 3)\) л/мин. Накачать 117 л можно за \(\frac{117}{x}\) мин, а выкачать 96 л — за \(\frac{96}{x + 3}\) мин, то есть на 5 мин быстрее.
При \(x > 0\) общий знаменатель дробей \(x(x + 3)\) положителен: \[\begin{aligned} \frac{117}{x} - \frac{96}{x + 3} &= 5; \qquad | \cdot x(x + 3) \\ 117(x + 3) - 96x &= 5x(x + 3); \\ 117x + 351 - 96x &= 5x^2 + 15x; \\ 21x + 351 &= 5x^2 + 15x; \\ 5x^2 - 6x - 351 &= 0; \\ D &= (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-351) = 36 + 7020 = 7056; \\ x_1 &= \frac{6 - \sqrt{7056}}{2 \cdot 5} = \frac{6 - 84}{10} = -7{,}8; \\ x_2 &= \frac{6 + \sqrt{7056}}{2 \cdot 5} = \frac{6 + 84}{10} = 9. \end{aligned}\] Число литров, которое накачивается за минуту, не может быть отрицательным, поэтому корень \(-7{,}8\) не подходит. Значит, за минуту в бак накачивается 9 л воды.
Проверка: 117 л накачиваются за \(117 : 9 = 13\) (мин); за минуту выкачивается \(9 + 3 = 12\) (л), и 96 л выкачиваются за \(96 : 12 = 8\) (мин), то есть на \(13 - 8 = 5\) (мин) быстрее.
Ответ: 9 л.
Чтобы накачать в бак 117 литров воды, требуется на 5 минут больше времени, чем на то, чтобы выкачать из него 96 литров воды. За одну минуту можно выкачать на 3 литра воды больше, чем накачать. Сколько литров воды накачивается в бак за минуту?
Дано:
\(V_1 = 117\) л — накачивают в бак
\(V_2 = 96\) л — выкачивают из бака
\(p_2 = p_1 + 3\) л/мин — выкачивают за минуту (\(p_1\) — накачивают за минуту)
\(t_1 - t_2 = 5\) мин — накачать 117 л дольше, чем выкачать 96 л
Найти: \(p_1\) — сколько литров воды накачивается в бак за минуту.
Решение:
Пусть \(p_1 = x\) л/мин, где \(x\) — положительное число, тогда \(p_2 = (x + 3)\) л/мин. Накачать 117 л можно за \(\frac{117}{x}\) мин, а выкачать 96 л — за \(\frac{96}{x + 3}\) мин, то есть на 5 мин быстрее.
Составим уравнение и преобразуем его, воспользовавшись тем, что \(x > 0\). При \(x > 0\) общий знаменатель дробей \(x(x + 3)\) положителен; умножим обе части уравнения на положительное число \(x(x + 3)\), раскроем скобки, приведём подобные слагаемые и перенесём все слагаемые в одну часть: \[\begin{aligned} \frac{117}{x} - \frac{96}{x + 3} &= 5; \qquad | \cdot x(x + 3) \\ 117(x + 3) - 96x &= 5x(x + 3); \\ 117x + 351 - 96x &= 5x^2 + 15x; \\ 21x + 351 &= 5x^2 + 15x; \\ 5x^2 - 6x - 351 &= 0; \\ D &= (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-351) = 36 + 7020 = 7056. \end{aligned}\] Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два корня: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{6 - \sqrt{7056}}{2 \cdot 5} = \frac{6 - 84}{10} = -7{,}8; \\ x_2 &= \frac{6 + \sqrt{7056}}{2 \cdot 5} = \frac{6 + 84}{10} = 9. \end{aligned}\] Число литров, которое накачивается за минуту, не может быть отрицательным, поэтому первый корень не подходит. Значит, за минуту в бак накачивается 9 л воды.
Проверка: 117 л накачиваются за \(117 : 9 = 13\) (мин); за минуту выкачивается \(9 + 3 = 12\) (л), и 96 л выкачиваются за \(96 : 12 = 8\) (мин), то есть на \(13 - 8 = 5\) (мин) быстрее.
Ответ: 9 л.
