Страница 190 номер 803, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте график функции \[y = \begin{cases} -x & \text{при } x < 2, \\ -x^2 + 6x - 11 & \text{при } x \ge 2. \end{cases}\] Определите, при каких значениях \(m\) прямая имеет с графиком ровно две общие точки.
В условии не названа прямая; как в соседних задачах, речь идёт о прямой \(y = m\).
При \(x < 2\) график функции совпадает с прямой \(y = -x\), проходящей через точки \((0; 0)\) и \((2; -2)\). Точка \((2; -2)\) выколота: при \(x = 2\) значение функции вычисляется по второй формуле.
При \(x \geqslant 2\) график функции совпадает с параболой \(y = -x^2 + 6x - 11\). Коэффициент при \(x^2\) отрицателен, поэтому её ветви направлены вниз. \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3; \\ y_0 &= -3^2 + 6 \cdot 3 - 11 = -9 + 18 - 11 = -2. \end{aligned}\] Абсцисса вершины \(3 > 2\), поэтому вершина \((3; -2)\) принадлежит графику. \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline y & -3 & -2 & -3 & -6 \\ \hline \end{array}\] Точка \((2; -3)\) графику принадлежит: при \(x = 2\) значение функции вычисляется по второй формуле.
На части прямой \(y = -x\) значения функции больше \(-2\): если \(x < 2\), то \(-x > -2\).
При \(m < -3\) прямая \(y = m\) пересекает только часть параболы правее вершины — одна общая точка.
При \(m = -3\) прямая \(y = m\) проходит через точку графика \((2; -3)\) и пересекает часть параболы правее вершины в точке \((4; -3)\) — две общие точки.
При \(-3 < m < -2\) прямая \(y = m\) пересекает часть параболы в двух точках: левее и правее вершины.
При \(m = -2\) прямая \(y = m\) проходит через вершину параболы \((3; -2)\) и через выколотую точку \((2; -2)\), которая графику не принадлежит, — одна общая точка.
При \(m > -2\) прямая \(y = m\) пересекает только часть прямой \(y = -x\) — одна общая точка.
Значит, прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки при \(-3 \leqslant m < -2\).
Ответ: \(-3 \leqslant m < -2\).
Постройте график функции \[y = \begin{cases} -x & \text{при } x < 2, \\ -x^2 + 6x - 11 & \text{при } x \ge 2. \end{cases}\] Определите, при каких значениях \(m\) прямая имеет с графиком ровно две общие точки.
В условии не названа прямая; как в соседних задачах, речь идёт о прямой \(y = m\).
Функция является кусочно-заданной, поэтому построим её график на каждом из промежутков в отдельности.
При \(x < 2\) график функции совпадает с прямой \(y = -x\). Построим эту прямую по двум точкам \((0; 0)\) и \((2; -2)\), а затем удалим её часть, которая соответствует \(x \geqslant 2\). Точка \((2; -2)\) графику не принадлежит, на графике она выколота: при \(x = 2\) значение функции вычисляется по второй формуле.
При \(x \geqslant 2\) график функции совпадает с параболой \(y = -x^2 + 6x - 11\). Коэффициент при \(x^2\) отрицателен, поэтому её ветви направлены вниз. Найдём координаты вершины параболы: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3; \\ y_0 &= -3^2 + 6 \cdot 3 - 11 = -9 + 18 - 11 = -2. \end{aligned}\] Абсцисса вершины \(3 > 2\), поэтому вершина \((3; -2)\) принадлежит графику. Найдём координаты ещё нескольких точек параболы: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline y & -3 & -2 & -3 & -6 \\ \hline \end{array}\] Построим параболу и удалим её часть, которая соответствует \(x < 2\). Точка \((2; -3)\) графику принадлежит: при \(x = 2\) значение функции вычисляется по второй формуле.
При каждом значении \(m\) графиком функции \(y = m\) является прямая, параллельная оси \(x\) или совпадающая с ней. На части прямой \(y = -x\) значения функции больше \(-2\): если \(x < 2\), то \(-x > -2\).
При \(m < -3\) прямая \(y = m\) пересекает только часть параболы правее вершины — одна общая точка.
При \(m = -3\) прямая \(y = m\) проходит через точку графика \((2; -3)\) и пересекает часть параболы правее вершины в точке \((4; -3)\) — две общие точки.
При \(-3 < m < -2\) прямая \(y = m\) пересекает часть параболы в двух точках: левее и правее вершины.
При \(m = -2\) прямая \(y = m\) проходит через вершину параболы \((3; -2)\) и через выколотую точку \((2; -2)\), которая графику не принадлежит, — одна общая точка.
При \(m > -2\) прямая \(y = m\) пересекает только часть прямой \(y = -x\) — одна общая точка.
Таким образом, прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки при \(-3 \leqslant m < -2\).
Ответ: \(-3 \leqslant m < -2\).
