Страница 191 номер 825, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте график функции \(y = \frac{(x^2 + 2{,}25)(x - 1)}{1 - x}\). Определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y = kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.
Выражение определено при \(x \ne 1\). Так как \(1 - x = -(x - 1)\), а при \(x \ne 1\) множитель \(x - 1\) не равен нулю, сократим на него дробь: \[\frac{(x^2 + 2{,}25)(x - 1)}{1 - x} = \frac{(x^2 + 2{,}25)(x - 1)}{-(x - 1)} = -x^2 - 2{,}25.\] График — парабола \(y = -x^2 - 2{,}25\) с выколотой точкой \((1; -3{,}25)\): \(-1 - 2{,}25 = -3{,}25\).
Это парабола \(y = -x^2\), сдвинутая на \(2{,}25\) единицы вниз: вершина — точка \((0; -2{,}25)\), ветви направлены вниз; ещё точки: \((-1; -3{,}25)\), \((-1{,}5; -4{,}5)\), \((1{,}5; -4{,}5)\), \((-2; -6{,}25)\), \((2; -6{,}25)\).
Абсциссы общих точек прямой \(y = kx\) и графика — корни уравнения \(-x^2 - 2{,}25 = kx\), отличные от 1: \[\begin{aligned} x^2 + kx + 2{,}25 &= 0; \\ D &= k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2{,}25 = k^2 - 9. \end{aligned}\]
Если \(D < 0\), то есть \(-3 < k < 3\), уравнение не имеет корней — общих точек нет.
Если \(D = 0\), то есть \(k = -3\) или \(k = 3\), уравнение имеет один корень \(x = -\frac{k}{2}\): при \(k = -3\) это \(x = 1{,}5\), при \(k = 3\) это \(x = -1{,}5\). Ни один из них не равен 1, поэтому каждая из прямых \(y = -3x\) и \(y = 3x\) имеет с графиком ровно одну общую точку: первая — \((1{,}5; -4{,}5)\), вторая — \((-1{,}5; -4{,}5)\).
Если \(D > 0\), то есть \(k < -3\) или \(k > 3\), уравнение имеет два корня: общих точек две, если ни один из корней не равен 1, и одна, если один из корней равен 1.
Число 1 — корень уравнения при \(1 + k + 2{,}25 = 0\), то есть при \(k = -3{,}25\); это значение меньше \(-3\), и прямая \(y = -3{,}25x\) проходит через выколотую точку \((1; -3{,}25)\).
По теореме Виета произведение корней уравнения \(x^2 - 3{,}25x + 2{,}25 = 0\) равно \(2{,}25\), поэтому второй корень равен \(2{,}25\) — прямая \(y = -3{,}25x\) имеет с графиком ровно одну общую точку, с абсциссой \(2{,}25\).
Ответ: \(k = -3{,}25\); \(k = -3\); \(k = 3\).
Постройте график функции \(y = \frac{(x^2 + 2{,}25)(x - 1)}{1 - x}\). Определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y = kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.
Выражение, задающее функцию, определено при \(x \ne 1\). Так как \(1 - x = -(x - 1)\), а при \(x \ne 1\) множитель \(x - 1\) не равен нулю, дробь можно сократить на него: \[\frac{(x^2 + 2{,}25)(x - 1)}{1 - x} = \frac{(x^2 + 2{,}25)(x - 1)}{-(x - 1)} = -x^2 - 2{,}25.\] Следовательно, графиком функции является парабола \(y = -x^2 - 2{,}25\) с выколотой точкой, абсцисса которой равна 1. Ордината этой точки — значение выражения \(-x^2 - 2{,}25\) при \(x = 1\): \(-1 - 2{,}25 = -3{,}25\). Значит, выколота точка \((1; -3{,}25)\).
Парабола \(y = -x^2 - 2{,}25\) получается из параболы \(y = -x^2\) сдвигом на \(2{,}25\) единицы вниз: её вершина — точка \((0; -2{,}25)\), ветви направлены вниз. Найдём координаты ещё нескольких точек: \((-1; -3{,}25)\), \((-1{,}5; -4{,}5)\), \((1{,}5; -4{,}5)\), \((-2; -6{,}25)\), \((2; -6{,}25)\).
Построим график функции, выколов из него точку \((1; -3{,}25)\), и прямые \(y = -3{,}25x\), \(y = -3x\) и \(y = 3x\).
При каждом значении \(k\) графиком функции \(y = kx\) является прямая, проходящая через начало координат. Абсциссы общих точек этой прямой и графика — корни уравнения \(-x^2 - 2{,}25 = kx\), отличные от 1. Перенесём все слагаемые в правую часть: \[\begin{aligned} x^2 + kx + 2{,}25 &= 0; \\ D &= k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2{,}25 = k^2 - 9. \end{aligned}\]
Если \(D < 0\), то есть \(-3 < k < 3\), уравнение не имеет корней, и общих точек нет.
Если \(D = 0\), то есть \(k = -3\) или \(k = 3\), уравнение имеет один корень \(x = -\frac{k}{2}\): при \(k = -3\) это \(x = 1{,}5\), при \(k = 3\) это \(x = -1{,}5\). Ни один из них не равен 1, поэтому каждая из прямых \(y = -3x\) и \(y = 3x\) имеет с графиком ровно одну общую точку: первая — \((1{,}5; -4{,}5)\), вторая — \((-1{,}5; -4{,}5)\).
Если \(D > 0\), то есть \(k < -3\) или \(k > 3\), уравнение имеет два корня. Общих точек тогда две, если ни один из корней не равен 1, и одна, если один из корней равен 1. Число 1 является корнем уравнения при \(1 + k + 2{,}25 = 0\), то есть при \(k = -3{,}25\); это значение меньше \(-3\), и прямая \(y = -3{,}25x\) проходит через выколотую точку \((1; -3{,}25)\). По теореме Виета произведение корней уравнения \(x^2 - 3{,}25x + 2{,}25 = 0\) равно \(2{,}25\), поэтому второй корень равен \(2{,}25\). Значит, прямая \(y = -3{,}25x\) имеет с графиком ровно одну общую точку — с абсциссой \(2{,}25\).
Таким образом, прямая \(y = kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку при \(k = -3{,}25\), \(k = -3\) и \(k = 3\).
Ответ: \(k = -3{,}25\); \(k = -3\); \(k = 3\).
