Страница 182 номер 795, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Дано:
\(V = 300\) л — объём бассейна
\(p_2 = p_1 + 5\) л/мин — пропускная способность второй трубы (\(p_1\) — первой)
\(t_1 - t_2 = 3\) мин — первая труба заполняет бассейн дольше второй

Найти: \(p_1\) — сколько литров воды в минуту пропускает первая труба.

Решение:

Пусть \(p_1 = x\) л/мин, где \(x\) — положительное число, тогда \(p_2 = (x + 5)\) л/мин. Бассейн объёмом 300 л первая труба заполняет за \(\frac{300}{x}\) мин, вторая — за \(\frac{300}{x + 5}\) мин, то есть на 3 мин быстрее.

Составим уравнение и преобразуем его, воспользовавшись тем, что \(x > 0\). При \(x > 0\) общий знаменатель дробей \(x(x + 5)\) положителен; умножим обе части уравнения на положительное число \(x(x + 5)\), раскроем скобки, перенесём все слагаемые в одну часть и разделим обе части на 3: \[\begin{aligned} \frac{300}{x} - \frac{300}{x + 5} &= 3; \qquad | \cdot x(x + 5) \\ 300(x + 5) - 300x &= 3x(x + 5); \\ 300x + 1500 - 300x &= 3x^2 + 15x; \\ 1500 &= 3x^2 + 15x; \\ 3x^2 + 15x - 1500 &= 0; \qquad | : 3 \\ x^2 + 5x - 500 &= 0; \\ D &= 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-500) = 25 + 2000 = 2025. \end{aligned}\] Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два корня: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{-5 - \sqrt{2025}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 45}{2} = -25; \\ x_2 &= \frac{-5 + \sqrt{2025}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 45}{2} = 20. \end{aligned}\] Пропускная способность трубы не может быть отрицательной, поэтому первый корень не подходит. Значит, первая труба пропускает 20 л воды в минуту.

Проверка: первая труба заполняет бассейн за \(300 : 20 = 15\) (мин); вторая пропускает \(20 + 5 = 25\) (л) в минуту и заполняет бассейн за \(300 : 25 = 12\) (мин), то есть на \(15 - 12 = 3\) (мин) быстрее.

Ответ: 20 л.