Страница 191 номер 824, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте график функции \[y = \begin{cases} -x^2 + 10x - 21 & \text{при } x \ge 3, \\ -x + 5 & \text{при } x < 3. \end{cases}\] Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки.
При \(x < 3\) график — часть прямой \(y = -x + 5\), проходящей через точки \((0; 5)\) и \((3; 2)\); точка \((3; 2)\) графику не принадлежит.
При \(x \geqslant 3\) график — часть параболы \(y = -x^2 + 10x - 21\): \[-x^2 + 10x - 21 = -(x^2 - 10x + 25) + 4 = -(x - 5)^2 + 4.\] Вершина параболы — точка \((5; 4)\), ветви направлены вниз; ещё точки: \((3; 0)\), \((4; 3)\), \((6; 3)\), \((7; 0)\). Точка \((3; 0)\) графику принадлежит.
При \(x < 3\) значения выражения \(-x + 5\) больше 2, поэтому часть прямой \(y = -x + 5\) лежит выше прямой \(y = 2\).
При \(m < 0\) прямая \(y = m\) пересекает только часть параболы правее точки \((7; 0)\) — одна общая точка.
При \(m = 0\) прямая \(y = 0\) проходит через точки \((3; 0)\) и \((7; 0)\) части параболы — две общие точки.
При \(0 < m < 2\) прямая \(y = m\) пересекает часть параболы в двух точках, по одной с каждой стороны от вершины, а с частью прямой общих точек не имеет — две общие точки.
При \(m = 2\) прямая \(y = 2\) проходит через выколотую точку \((3; 2)\) и с частью прямой \(y = -x + 5\) общих точек не имеет; часть параболы она пересекает в двух точках — две общие точки.
При \(2 < m < 4\) прямая \(y = m\) имеет одну общую точку с частью прямой и две — с частью параболы: всего три общие точки.
При \(m = 4\) прямая \(y = 4\) пересекает часть прямой в точке \((1; 4)\) и проходит через вершину параболы \((5; 4)\) — две общие точки.
При \(m > 4\) прямая \(y = m\) пересекает только часть прямой — одна общая точка.
Ответ: \(0 \leqslant m \leqslant 2\); \(m = 4\).
Постройте график функции \[y = \begin{cases} -x^2 + 10x - 21 & \text{при } x \ge 3, \\ -x + 5 & \text{при } x < 3. \end{cases}\] Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки.
Функция является кусочно-заданной, поэтому её график строим на каждом из промежутков в отдельности.
При \(x < 3\) график функции совпадает с прямой \(y = -x + 5\). Построим эту прямую по двум точкам: \((0; 5)\) и \((3; 2)\). Затем удалим её часть, которая соответствует \(x \geqslant 3\); точка \((3; 2)\) графику не принадлежит.
При \(x \geqslant 3\) график функции совпадает с параболой \(y = -x^2 + 10x - 21\). Выделим полный квадрат: \[-x^2 + 10x - 21 = -(x^2 - 10x + 25) + 4 = -(x - 5)^2 + 4.\] Вершина параболы находится в точке \((5; 4)\), а её ветви направлены вниз. Найдём координаты ещё нескольких точек: \((3; 0)\), \((4; 3)\), \((6; 3)\), \((7; 0)\). Удалим часть параболы, которая соответствует \(x < 3\); точка \((3; 0)\) графику принадлежит.
Построим график функции.
При каждом значении \(m\) графиком функции \(y = m\) является прямая, параллельная оси \(x\) или совпадающая с ней. Определим, при каких значениях \(m\) эта прямая имеет с графиком ровно две общие точки. При \(x < 3\) значения выражения \(-x + 5\) больше 2, поэтому часть прямой \(y = -x + 5\) лежит выше прямой \(y = 2\).
При \(m < 0\) прямая \(y = m\) пересекает только часть параболы правее точки \((7; 0)\) — одна общая точка.
При \(m = 0\) прямая \(y = 0\) проходит через точки \((3; 0)\) и \((7; 0)\) части параболы — две общие точки.
При \(0 < m < 2\) прямая \(y = m\) пересекает часть параболы в двух точках, по одной с каждой стороны от вершины, а с частью прямой \(y = -x + 5\) общих точек не имеет — две общие точки.
При \(m = 2\) прямая \(y = 2\) проходит через выколотую точку \((3; 2)\) и с частью прямой \(y = -x + 5\) общих точек не имеет; часть параболы она пересекает в двух точках — две общие точки.
При \(2 < m < 4\) прямая \(y = m\) имеет одну общую точку с частью прямой \(y = -x + 5\) и две — с частью параболы: всего три общие точки.
При \(m = 4\) прямая \(y = 4\) пересекает часть прямой \(y = -x + 5\) в точке \((1; 4)\) и проходит через вершину параболы \((5; 4)\) — две общие точки.
При \(m > 4\) прямая \(y = m\) пересекает только часть прямой \(y = -x + 5\) — одна общая точка.
Таким образом, прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки при \(0 \leqslant m \leqslant 2\) и при \(m = 4\).
Ответ: \(0 \leqslant m \leqslant 2\); \(m = 4\).
