Страница 158 номер 798, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Дано:
\(\rho_1 = \rho_2 + 4\) (г/см³) — плотности первого и второго металлов
\(m_1 : m_2 = 4 : 1\) — массы металлов в сплаве
\(m = 0{,}4\) кг, то есть \(400\) г, — масса детали из сплава
деталь из второго металла легче на \(40\,\%\)
\(V = V_1 + V_2\) — объём сплава
Найти: \(\rho_1\).
Решение:
\(4 + 1 = 5\) — равных частей в массе детали (отношение \(4 : 1\)).
\(400 : 5 = 80\) (г) — одна часть, это масса второго металла.
\(80 \cdot 4 = 320\) (г) — масса первого металла.
\(400 - 0{,}4 \cdot 400 = 240\) (г) — масса такой же детали из второго металла (на \(40\,\%\) меньше).
Пусть плотность первого металла \(\rho_1 = \rho\) г/см³, тогда плотность второго металла \(\rho_2 = \rho - 4\) г/см³.
\(\frac{320}{\rho} + \frac{80}{\rho - 4}\) (см³) — объём детали из сплава (сумма объёмов металлов).
\(\frac{240}{\rho - 4}\) (см³) — объём такой же детали из второго металла; он тот же. Общий знаменатель — \(\rho(\rho - 4)\): \[\begin{aligned} \frac{320}{\rho} + \frac{80}{\rho - 4} &= \frac{240}{\rho - 4}; \\ \frac{320(\rho - 4) + 80\rho - 240\rho}{\rho(\rho - 4)} &= 0; \\ \frac{160\rho - 1280}{\rho(\rho - 4)} &= 0. \end{aligned}\] Корень числителя — число \(1280 : 160 = 8\). При \(\rho = 8\) знаменатель равен \(8 \cdot (8 - 4) = 32\), то есть не обращается в нуль. Плотность второго металла при этом равна \(8 - 4 = 4\) г/см³ — положительное число, как и должно быть. Значит, плотность первого металла равна 8 г/см³.
Проверка: \(\frac{320}{8} + \frac{80}{4} = 40 + 20 = 60\) (см³) — объём детали; \(4 \cdot 60 = 240\) (г) — масса такой же детали из второго металла, на \(400 - 240 = 160\) (г) меньше 400 г, а \(160 : 400 = 0{,}4\), то есть на \(40\,\%\).
Ответ: 8 г/см³.
Дано:
\(\rho_1 = \rho_2 + 4\) (г/см³) — плотности первого и второго металлов
\(m_1 : m_2 = 4 : 1\) — массы металлов в сплаве
\(m = 0{,}4\) кг, то есть \(400\) г, — масса детали из сплава
деталь из второго металла легче на \(40\,\%\)
\(V = V_1 + V_2\) — объём сплава
Найти: \(\rho_1\).
Решение:
Масса детали делится в отношении \(4 : 1\), то есть на \(4 + 1 = 5\) равных частей; одна часть равна \(400 : 5 = 80\) (г). Значит, в детали \(80 \cdot 4 = 320\) (г) первого металла и 80 г второго.
Такая же деталь из второго металла имеет массу на \(40\,\%\) меньше: \(400 - 0{,}4 \cdot 400 = 240\) (г).
Пусть плотность первого металла \(\rho_1 = \rho\) г/см³, тогда плотность второго металла \(\rho_2 = \rho - 4\) г/см³. Объём тела равен его массе, делённой на плотность. Объём детали из сплава равен сумме объёмов металлов: \(\frac{320}{\rho} + \frac{80}{\rho - 4}\) см³. Точно такая же деталь из второго металла имеет тот же объём: \(\frac{240}{\rho - 4}\) см³. Составим уравнение, перенесём все слагаемые в левую часть и приведём их к общему знаменателю \(\rho(\rho - 4)\): \[\begin{aligned} \frac{320}{\rho} + \frac{80}{\rho - 4} &= \frac{240}{\rho - 4}; \\ \frac{320(\rho - 4) + 80\rho - 240\rho}{\rho(\rho - 4)} &= 0; \\ \frac{160\rho - 1280}{\rho(\rho - 4)} &= 0. \end{aligned}\] Корнем числителя является число \(1280 : 160 = 8\). При \(\rho = 8\) знаменатель равен \(8 \cdot (8 - 4) = 32\), то есть не обращается в нуль. Плотность второго металла при этом равна \(8 - 4 = 4\) г/см³ — положительное число, как и должно быть.
Проверка: объём детали равен \(\frac{320}{8} + \frac{80}{4} = 40 + 20 = 60\) (см³); такая же деталь из второго металла имеет массу \(4 \cdot 60 = 240\) (г), что на \(400 - 240 = 160\) (г) меньше 400 г, а \(160 : 400 = 0{,}4\), то есть на \(40\,\%\).
Таким образом, плотность первого металла равна 8 г/см³.
Ответ: 8 г/см³.
