Страница 150 номер 721, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Дано:
\(s = 120\) км — расстояние между городами
\(v_{\text{м}} = v_{\text{в}} + 40\) (км/ч) — скорости мотоциклиста и велосипедиста
\(t_{\text{в}} - t_{\text{м}} = 4\) ч — мотоциклист приехал на 4 ч раньше

Найти: \(v_{\text{м}}\) — скорость мотоциклиста.

Решение:

Обозначим скорость велосипедиста (в км/ч) через \(v\). Тогда скорость мотоциклиста равна \((v + 40)\) км/ч. Значит, на дорогу из города А в город Б мотоциклист затратил \(\frac{120}{v + 40}\) часа, а велосипедист — \(\frac{120}{v}\) часа. По условию мотоциклист приехал в Б на 4 часа раньше, чем велосипедист. Составим уравнение, перенесём все слагаемые в левую часть, приведём их к общему знаменателю и разделим обе части на \(-4\): \[\begin{aligned} \frac{120}{v} - \frac{120}{v + 40} &= 4; \\ \frac{120(v + 40) - 120v - 4v(v + 40)}{v(v + 40)} &= 0; \\ \frac{-4v^2 - 160v + 4800}{v(v + 40)} &= 0; \qquad | : (-4) \\ \frac{v^2 + 40v - 1200}{v(v + 40)} &= 0. \end{aligned}\] Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Найдём корни числителя: \[\begin{aligned} v^2 + 40v - 1200 &= 0; \\ D &= 40^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1200) = 1600 + 4800 = 6400; \\ v_1 &= \frac{-40 - \sqrt{6400}}{2 \cdot 1} = \frac{-40 - 80}{2} = -60; \\ v_2 &= \frac{-40 + \sqrt{6400}}{2 \cdot 1} = \frac{-40 + 80}{2} = 20. \end{aligned}\] Корнями числителя являются числа \(-60\) и \(20\). Знаменатель \(v(v + 40)\) обращается в нуль только при \(v = 0\) и \(v = -40\), поэтому оба числа — корни уравнения. Однако скорость может быть только положительной, поэтому число \(-60\) не подходит.

Таким образом, скорость велосипедиста равна 20 км/ч, а скорость мотоциклиста равна \(20 + 40 = 60\) (км/ч). Велосипедист был в пути \(\frac{120}{20} = 6\) (ч), мотоциклист — \(\frac{120}{60} = 2\) (ч), на 4 ч меньше.

Ответ: 60 км/ч.