Страница 106 номер 567, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каких значениях \(m\) корни уравнения \(3x^2 + (m^2 - 4m)x + m - 1 = 0\) существуют и равны по модулю, но противоположны по знаку?
Старший коэффициент равен \(3 \neq 0\), поэтому при любом \(m\) уравнение квадратное.
Такие корни — это \(x_1\) и \(x_2 = -x_1\), где \(x_1 \neq 0\); их сумма равна нулю. Если корни существуют, то по теореме Виета их сумма равна \(-\frac{m^2 - 4m}{3}\). Она равна нулю, когда \(m^2 - 4m = 0\), то есть \(m(m - 4) = 0\), откуда \(m = 0\) или \(m = 4\).
При \(m = 0\) уравнение принимает вид \(3x^2 - 1 = 0\), откуда \(x^2 = \frac{1}{3}\) и \(x = -\sqrt{\frac{1}{3}}\) или \(x = \sqrt{\frac{1}{3}}\). Корни существуют, равны по модулю и противоположны по знаку, поэтому значение \(m = 0\) подходит.
При \(m = 4\) уравнение принимает вид \(3x^2 + 3 = 0\), откуда \(x^2 = -1\). Квадрат числа не может быть отрицательным, поэтому корней нет и значение \(m = 4\) не подходит.
Ответ: при \(m = 0\).
При каких значениях \(m\) корни уравнения \(3x^2 + (m^2 - 4m)x + m - 1 = 0\) существуют и равны по модулю, но противоположны по знаку?
Старший коэффициент уравнения равен \(3 \neq 0\), поэтому при любом значении \(m\) уравнение является квадратным.
Корни, равные по модулю и противоположные по знаку, — это два числа \(x_1\) и \(x_2 = -x_1\), где \(x_1 \neq 0\); их сумма равна нулю. Если корни уравнения существуют, то по теореме Виета их сумма равна \(-\frac{m^2 - 4m}{3}\). Она равна нулю, когда \(m^2 - 4m = 0\), то есть \(m(m - 4) = 0\), откуда \(m = 0\) или \(m = 4\). Проверим каждое из этих значений.
При \(m = 0\) уравнение принимает вид \(3x^2 - 1 = 0\), откуда \(x^2 = \frac{1}{3}\) и \(x = -\sqrt{\frac{1}{3}}\) или \(x = \sqrt{\frac{1}{3}}\). Корни существуют, равны по модулю и противоположны по знаку, поэтому значение \(m = 0\) подходит.
При \(m = 4\) уравнение принимает вид \(3x^2 + 3 = 0\), откуда \(x^2 = -1\). Квадрат числа не может быть отрицательным, поэтому уравнение корней не имеет и значение \(m = 4\) не подходит.
Ответ: при \(m = 0\).
