Страница 106 номер 566, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение \(ax^2 - 2x + 1 = 0\) для каждого действительного числа \(a\).
Старший коэффициент равен \(a\). При \(a = 0\) уравнение линейное: \(-2x + 1 = 0\), его единственный корень \(x = 0{,}5\).
При \(a \neq 0\) уравнение квадратное; коэффициент при \(x\) чётный, \(k = -1\): \[D_1 = (-1)^2 - a \cdot 1 = 1 - a.\] Если \(1 - a < 0\), то есть \(a > 1\), то \(D_1 < 0\) и уравнение не имеет корней.
Если \(1 - a = 0\), то есть \(a = 1\), то \(D_1 = 0\) и уравнение имеет единственный корень \(x = -\frac{k}{a} = -\frac{-1}{1} = 1\).
Если \(1 - a > 0\), то есть \(a < 1\), то \(D_1 > 0\) и уравнение имеет два различных корня: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{1 - \sqrt{1 - a}}{a}; \\ x_2 &= \frac{1 + \sqrt{1 - a}}{a}. \end{aligned}\] Этот случай — значения \(a < 1\), отличные от нуля, то есть \(a < 0\) и \(0 < a < 1\).
Ответ: \(x = 0{,}5\) при \(a = 0\); \(x = 1\) при \(a = 1\); \(x = \frac{1 - \sqrt{1 - a}}{a}\) и \(x = \frac{1 + \sqrt{1 - a}}{a}\) при \(a < 0\) и при \(0 < a < 1\); решений нет при \(a > 1\).
Решите уравнение \(ax^2 - 2x + 1 = 0\) для каждого действительного числа \(a\).
Старший коэффициент уравнения равен \(a\), поэтому отдельно рассмотрим случай \(a = 0\), когда уравнение не является квадратным.
При \(a = 0\) уравнение принимает вид \(-2x + 1 = 0\). Это линейное уравнение имеет единственный корень \(x = 0{,}5\).
При \(a \neq 0\) уравнение является квадратным. Коэффициент при \(x\) чётный, \(k = -1\), поэтому \[D_1 = (-1)^2 - a \cdot 1 = 1 - a.\] Число корней квадратного уравнения зависит от знака дискриминанта.
Если \(1 - a < 0\), то есть \(a > 1\), то \(D_1 < 0\) и уравнение не имеет корней.
Если \(1 - a = 0\), то есть \(a = 1\), то \(D_1 = 0\) и уравнение имеет единственный корень \(x = -\frac{k}{a} = -\frac{-1}{1} = 1\).
Если \(1 - a > 0\), то есть \(a < 1\), то \(D_1 > 0\) и уравнение имеет два различных корня: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{1 - \sqrt{1 - a}}{a}; \\ x_2 &= \frac{1 + \sqrt{1 - a}}{a}. \end{aligned}\] Этот случай относится к значениям \(a < 1\), отличным от нуля, то есть к \(a < 0\) и к \(0 < a < 1\).
Ответ: \(x = 0{,}5\) при \(a = 0\); \(x = 1\) при \(a = 1\); \(x = \frac{1 - \sqrt{1 - a}}{a}\) и \(x = \frac{1 + \sqrt{1 - a}}{a}\) при \(a < 0\) и при \(0 < a < 1\); решений нет при \(a > 1\).
