Страница 106 номер 565, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение \(x^2 - 3ax + 2a^2 = 0\) при всех значениях \(a\).
Старший коэффициент равен 1, поэтому при любом \(a\) уравнение приведённое квадратное: коэффициент при \(x\) равен \(-3a\), свободный член равен \(2a^2\).
\(a + 2a = 3a\) и \(a \cdot 2a = 2a^2\), поэтому по теореме, обратной теореме Виета, числа \(a\) и \(2a\) — корни уравнения, других корней у него нет.
Если \(a = 0\), то уравнение принимает вид \(x^2 = 0\) и имеет единственный корень \(x = 0\).
Если \(a \neq 0\), то \(2a - a = a \neq 0\), поэтому корни \(x = a\) и \(x = 2a\) различны.
Ответ: \(x = 0\) при \(a = 0\); \(x = a\) и \(x = 2a\) при \(a \neq 0\).
Решите уравнение \(x^2 - 3ax + 2a^2 = 0\) при всех значениях \(a\).
Старший коэффициент уравнения равен 1, поэтому при любом значении \(a\) уравнение является приведённым квадратным уравнением: коэффициент при \(x\) равен \(-3a\), свободный член равен \(2a^2\).
Числа \(a\) и \(2a\) таковы, что \(a + 2a = 3a\) и \(a \cdot 2a = 2a^2\): их сумма равна коэффициенту при \(x\), взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену. По теореме, обратной теореме Виета, числа \(a\) и \(2a\) являются корнями уравнения, причём других корней у него нет.
Если \(a = 0\), то оба числа \(a\) и \(2a\) равны нулю: уравнение принимает вид \(x^2 = 0\) и имеет единственный корень \(x = 0\).
Если \(a \neq 0\), то \(2a - a = a \neq 0\), поэтому корни \(a\) и \(2a\) различны: уравнение имеет два корня \(x = a\) и \(x = 2a\).
Ответ: \(x = 0\) при \(a = 0\); \(x = a\) и \(x = 2a\) при \(a \neq 0\).
