Страница 106 номер 563, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Уравнение \(3x^2 + 8x - 1 = 0\) имеет два корня: \(x_1\) и \(x_2\). Вычислите \(\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}\).
Коэффициент при \(x\) чётный, \(k = 4\): \[D_1 = 4^2 - 3 \cdot (-1) = 16 + 3 = 19.\] Поскольку \(D_1 > 0\), уравнение имеет два различных корня. По теореме Виета \[\begin{aligned} x_1 + x_2 &= -\frac{8}{3}; \\ x_1x_2 &= -\frac{1}{3}. \end{aligned}\] Произведение корней не равно нулю, поэтому ни один из корней не равен нулю и выражение имеет смысл: \[\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2}.\] \((x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2\), поэтому \[\begin{aligned} &x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = {} \\ &= \left(-\frac{8}{3}\right)^2 - 2 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{64}{9} + \frac{6}{9} = \frac{70}{9}. \end{aligned}\] Значит, \[\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{70}{9} \cdot (-3) = -\frac{70}{3}.\]
Ответ: \(-\frac{70}{3}\).
Уравнение \(3x^2 + 8x - 1 = 0\) имеет два корня: \(x_1\) и \(x_2\). Вычислите \(\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}\).
Коэффициент при \(x\) чётный, \(k = 4\). Найдём \(D_1\): \[D_1 = 4^2 - 3 \cdot (-1) = 16 + 3 = 19.\] Поскольку \(D_1 > 0\), уравнение действительно имеет два различных корня \(x_1\) и \(x_2\). По теореме Виета \[\begin{aligned} x_1 + x_2 &= -\frac{8}{3}; \\ x_1x_2 &= -\frac{1}{3}. \end{aligned}\] Произведение корней не равно нулю, поэтому ни один из корней не равен нулю и выражение \(\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}\) имеет смысл. Приведём дроби к общему знаменателю \(x_1x_2\): \[\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2}.\] По формуле квадрата суммы \((x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2\), поэтому \[\begin{aligned} &x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = {} \\ &= \left(-\frac{8}{3}\right)^2 - 2 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{64}{9} + \frac{6}{9} = \frac{70}{9}. \end{aligned}\] Разделим \(\frac{70}{9}\) на \(-\frac{1}{3}\), заменив деление умножением на обратное число \(-3\): \[\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{70}{9} \cdot (-3) = -\frac{70}{3}.\]
Ответ: \(-\frac{70}{3}\).
