Страница 106 номер 564, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(x + 17 = 10\sqrt{x - 4}\); б) \(x - 5\sqrt{x - 3} + 3 = 0\); в) \((x + 1)^2(x^2 + 2x) = 12\).
а) \(\sqrt{x - 4}\) имеет смысл при \(x \geqslant 4\). Пусть \(\sqrt{x - 4} = t\); арифметический корень неотрицателен, поэтому \(t \geqslant 0\). По определению арифметического корня \(x - 4 = t^2\), откуда \(x = t^2 + 4\), и уравнение примет вид \[\begin{aligned} t^2 + 4 + 17 &= 10t; \\ t^2 - 10t + 21 &= 0. \end{aligned}\] По теореме, обратной теореме Виета, его корни — 3 и 7: \(3 + 7 = 10\) и \(3 \cdot 7 = 21\). Оба корня неотрицательны, поэтому подходят оба.
Если \(\sqrt{x - 4} = 3\), то по определению арифметического корня \(x - 4 = 3^2 = 9\), откуда \(x = 13\).
Если \(\sqrt{x - 4} = 7\), то \(x - 4 = 7^2 = 49\), откуда \(x = 53\).
Проверка: при \(x = 13\) получаем \(13 + 17 = 30\) и \(10\sqrt{13 - 4} = 10\sqrt{9} = 30\) — верно.
При \(x = 53\) получаем \(53 + 17 = 70\) и \(10\sqrt{53 - 4} = 10\sqrt{49} = 70\) — верно.
б) \(\sqrt{x - 3}\) имеет смысл при \(x \geqslant 3\). Пусть \(\sqrt{x - 3} = t\), тогда \(t \geqslant 0\). По определению арифметического корня \(x - 3 = t^2\), откуда \(x = t^2 + 3\), и уравнение примет вид \[\begin{aligned} t^2 + 3 - 5t + 3 &= 0; \\ t^2 - 5t + 6 &= 0. \end{aligned}\] По теореме, обратной теореме Виета, его корни — 2 и 3: \(2 + 3 = 5\) и \(2 \cdot 3 = 6\). Оба корня неотрицательны, поэтому подходят оба.
Если \(\sqrt{x - 3} = 2\), то по определению арифметического корня \(x - 3 = 2^2 = 4\), откуда \(x = 7\).
Если \(\sqrt{x - 3} = 3\), то \(x - 3 = 3^2 = 9\), откуда \(x = 12\).
Проверка: при \(x = 7\) получаем \(7 - 5\sqrt{7 - 3} + 3 = 7 - 5 \cdot 2 + 3 = 0\) — верно.
При \(x = 12\) получаем \(12 - 5\sqrt{12 - 3} + 3 = 12 - 5 \cdot 3 + 3 = 0\) — верно.
в) \(x^2 + 2x = (x^2 + 2x + 1) - 1 = (x + 1)^2 - 1\). Пусть \((x + 1)^2 = t\), тогда \(x^2 + 2x = t - 1\), и уравнение примет вид \[\begin{aligned} t(t - 1) &= 12; \\ t^2 - t - 12 &= 0. \end{aligned}\] По теореме, обратной теореме Виета, его корни — \(-3\) и \(4\): \(-3 + 4 = 1\) и \((-3) \cdot 4 = -12\).
Уравнение \((x + 1)^2 = -3\) корней не имеет: квадрат любого числа неотрицателен.
Из уравнения \((x + 1)^2 = 4\) получаем \(x + 1 = -2\) или \(x + 1 = 2\), откуда \(x = -3\) или \(x = 1\).
Ответ: а) \(13\); \(53\); б) \(7\); \(12\); в) \(-3\); \(1\).
Решите уравнение: а) \(x + 17 = 10\sqrt{x - 4}\); б) \(x - 5\sqrt{x - 3} + 3 = 0\); в) \((x + 1)^2(x^2 + 2x) = 12\).
а) Выражение \(\sqrt{x - 4}\) имеет смысл при \(x \geqslant 4\). Сделаем замену переменной: пусть \(\sqrt{x - 4} = t\). Арифметический квадратный корень неотрицателен, поэтому \(t \geqslant 0\); по определению арифметического корня \(x - 4 = t^2\), откуда \(x = t^2 + 4\). Уравнение примет вид \[\begin{aligned} t^2 + 4 + 17 &= 10t; \\ t^2 - 10t + 21 &= 0. \end{aligned}\] По теореме, обратной теореме Виета, корнями этого уравнения являются числа 3 и 7: \(3 + 7 = 10\) и \(3 \cdot 7 = 21\). Оба корня неотрицательны, поэтому подходят оба.
Если \(\sqrt{x - 4} = 3\), то по определению арифметического корня \(x - 4 = 3^2 = 9\), откуда \(x = 13\). Если \(\sqrt{x - 4} = 7\), то \(x - 4 = 7^2 = 49\), откуда \(x = 53\).
Проверим найденные значения подстановкой в исходное уравнение. При \(x = 13\): \(13 + 17 = 30\) и \(10\sqrt{13 - 4} = 10\sqrt{9} = 30\) — верно. При \(x = 53\): \(53 + 17 = 70\) и \(10\sqrt{53 - 4} = 10\sqrt{49} = 70\) — верно.
б) Выражение \(\sqrt{x - 3}\) имеет смысл при \(x \geqslant 3\). Пусть \(\sqrt{x - 3} = t\), тогда \(t \geqslant 0\); по определению арифметического корня \(x - 3 = t^2\), откуда \(x = t^2 + 3\). Уравнение примет вид \[\begin{aligned} t^2 + 3 - 5t + 3 &= 0; \\ t^2 - 5t + 6 &= 0. \end{aligned}\] По теореме, обратной теореме Виета, корнями этого уравнения являются числа 2 и 3: \(2 + 3 = 5\) и \(2 \cdot 3 = 6\). Оба корня неотрицательны, поэтому подходят оба.
Если \(\sqrt{x - 3} = 2\), то по определению арифметического корня \(x - 3 = 2^2 = 4\), откуда \(x = 7\). Если \(\sqrt{x - 3} = 3\), то \(x - 3 = 3^2 = 9\), откуда \(x = 12\).
Проверим найденные значения подстановкой в исходное уравнение. При \(x = 7\): \(7 - 5\sqrt{7 - 3} + 3 = 7 - 5 \cdot 2 + 3 = 0\) — верно. При \(x = 12\): \(12 - 5\sqrt{12 - 3} + 3 = 12 - 5 \cdot 3 + 3 = 0\) — верно.
в) Выделим полный квадрат: \(x^2 + 2x = (x^2 + 2x + 1) - 1 = (x + 1)^2 - 1\). Сделаем замену переменной: пусть \((x + 1)^2 = t\). Тогда \(x^2 + 2x = t - 1\), и уравнение примет вид \[\begin{aligned} t(t - 1) &= 12; \\ t^2 - t - 12 &= 0. \end{aligned}\] По теореме, обратной теореме Виета, корнями этого уравнения являются числа \(-3\) и \(4\): \(-3 + 4 = 1\) и \((-3) \cdot 4 = -12\).
Уравнение \((x + 1)^2 = -3\) корней не имеет: квадрат любого числа неотрицателен.
Из уравнения \((x + 1)^2 = 4\) получаем \(x + 1 = -2\) или \(x + 1 = 2\), откуда \(x = -3\) или \(x = 1\).
Ответ: а) \(13\); \(53\); б) \(7\); \(12\); в) \(-3\); \(1\).
