Страница 102 номер 2.162, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Упростите выражение, если \(n\) — целое число:
а) \(\sqrt{5^{2n}}\);
б) \(\sqrt{y^{4n}}\);
в) \(\sqrt{x^{2n}}\).
а) \(5^{2n} = (5^n)^2\), а \(5^n > 0\) при любом целом \(n\): \[\sqrt{5^{2n}} = \sqrt{(5^n)^2} = |5^n| = 5^n.\]
б) \(y^{4n} = (y^{2n})^2\), а \(y^{2n} = (y^n)^2 \geqslant 0\): \[\sqrt{y^{4n}} = \sqrt{(y^{2n})^2} = |y^{2n}| = y^{2n}.\]
в) \(x^{2n} = (x^n)^2\): \[\sqrt{x^{2n}} = \sqrt{(x^n)^2} = |x^n|.\] Число \(x^n\) может быть и отрицательным: при \(x = -1\) и \(n = 1\) получаем \(x^n = -1\). Поэтому модуль раскрыть нельзя.
Ответ: а) \(5^n\); б) \(y^{2n}\); в) \(|x^n|\).
Упростите выражение, если \(n\) — целое число:
а) \(\sqrt{5^{2n}}\);
б) \(\sqrt{y^{4n}}\);
в) \(\sqrt{x^{2n}}\).
Запишем подкоренное выражение квадратом степени — по свойству \((a^m)^k = a^{mk}\) — и применим равенство \(\sqrt{x^2} = |x|\).
а) \(5^{2n} = (5^n)^2\), а \(5^n > 0\) при любом целом \(n\): \[\sqrt{5^{2n}} = \sqrt{(5^n)^2} = |5^n| = 5^n.\]
б) \(y^{4n} = (y^{2n})^2\), а \(y^{2n} = (y^n)^2 \geqslant 0\): \[\sqrt{y^{4n}} = \sqrt{(y^{2n})^2} = |y^{2n}| = y^{2n}.\]
в) \(x^{2n} = (x^n)^2\): \[\sqrt{x^{2n}} = \sqrt{(x^n)^2} = |x^n|.\] Число \(x^n\) может быть и отрицательным: например, при \(x = -1\) и \(n = 1\) получаем \(x^n = -1\). Поэтому модуль раскрыть нельзя.
Ответ: а) \(5^n\); б) \(y^{2n}\); в) \(|x^n|\).
