Страница 100 номер 2.152, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО. Верно ли равенство:
а) \(\sqrt{7-\sqrt{40}}=\sqrt{5}-\sqrt{2}\);
б) \(\sqrt{2+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\);
в) \(1-2\sqrt{7}=\sqrt{29-4\sqrt{7}}\);
г) \(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2-\sqrt{3}}\)?
а) \(\sqrt{5} - \sqrt{2} > 0\), так как \(5 > 2\).
\(2\sqrt{10} = \sqrt{4 \cdot 10} = \sqrt{40}\). Тогда \[(\sqrt{5} - \sqrt{2})^2 = 5 - 2\sqrt{10} + 2 = 7 - \sqrt{40}.\] Равенство верно.
б) Правая часть положительна, а её квадрат равен подкоренному выражению левой части: \[\left(\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}.\] Равенство верно.
в) Квадрат левой части равен \((1 - 2\sqrt{7})^2 = 1 - 4\sqrt{7} + 28 = 29 - 4\sqrt{7}\), но сама левая часть отрицательна: \(2\sqrt{7} = \sqrt{28} > 1\). Значение корня неотрицательно, поэтому равенство неверно.
г) \(\sqrt{3} > 1\), поэтому левая часть положительна; её квадрат равен подкоренному выражению правой части: \[\left(\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}.\] Равенство верно.
Ответ: а) верно; б) верно; в) неверно; г) верно.
ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО. Верно ли равенство:
а) \(\sqrt{7-\sqrt{40}}=\sqrt{5}-\sqrt{2}\);
б) \(\sqrt{2+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\);
в) \(1-2\sqrt{7}=\sqrt{29-4\sqrt{7}}\);
г) \(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2-\sqrt{3}}\)?
По определению арифметического квадратного корня равенство \(\sqrt{A} = B\) верно, если \(B \geqslant 0\) и \(B^2 = A\), и неверно, если \(B < 0\).
а) \(\sqrt{5} - \sqrt{2} > 0\), так как \(5 > 2\). Множитель 2 внесём под знак корня: \(2\sqrt{10} = \sqrt{4 \cdot 10} = \sqrt{40}\). Тогда \[(\sqrt{5} - \sqrt{2})^2 = 5 - 2\sqrt{10} + 2 = 7 - \sqrt{40}.\] Равенство верно.
б) Правая часть положительна, а её квадрат равен подкоренному выражению левой части: \[\left(\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}.\] Равенство верно.
в) Квадрат левой части равен \((1 - 2\sqrt{7})^2 = 1 - 4\sqrt{7} + 28 = 29 - 4\sqrt{7}\), но сама левая часть отрицательна: \(2\sqrt{7} = \sqrt{28} > 1\). Значение корня неотрицательно, поэтому равенство неверно. Верно другое равенство: \(\sqrt{29 - 4\sqrt{7}} = 2\sqrt{7} - 1\).
г) \(\sqrt{3} > 1\), поэтому левая часть положительна; её квадрат равен подкоренному выражению правой части: \[\left(\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}.\] Равенство верно.
Ответ: а) верно; б) верно; в) неверно; г) верно.
