Страница 109 номер 2.181, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Докажите формулу \[\sqrt{a+b\sqrt{c}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b^2c}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b^2c}}{2}},\] где \(b>0\).
Будем считать подкоренные выражения неотрицательными (иначе формула не имеет смысла): \(c \geqslant 0\), \(a^2 - b^2c \geqslant 0\) и \(a - \sqrt{a^2 - b^2c} \geqslant 0\); тогда и \(a + \sqrt{a^2 - b^2c} \geqslant 0\).
Правая часть формулы — сумма двух арифметических квадратных корней, поэтому она неотрицательна.
Сумма квадратов слагаемых: \[\frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c}}{2} + \frac{a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2} = \frac{2a}{2} = a.\]
Произведение слагаемых (\(\sqrt{b^2c} = b\sqrt{c}\) при \(b > 0\)): \[\begin{aligned} &\sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} \cdot \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} = {} \\ &= \sqrt{\frac{a^2 - (a^2 - b^2c)}{4}} = \sqrt{\frac{b^2c}{4}} = \frac{b\sqrt{c}}{2}. \end{aligned}\]
Квадрат правой части равен \(a + 2 \cdot \frac{b\sqrt{c}}{2} = a + b\sqrt{c}\).
Правая часть неотрицательна, а её квадрат равен \(a + b\sqrt{c}\); значит, по определению арифметического квадратного корня она равна \(\sqrt{a + b\sqrt{c}}\), что и требовалось доказать.
Ответ: формула доказана: её правая часть неотрицательна, а квадрат правой части равен \(a + b\sqrt{c}\).
Докажите формулу \[\sqrt{a+b\sqrt{c}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b^2c}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b^2c}}{2}},\] где \(b>0\).
Будем считать, что все подкоренные выражения в формуле неотрицательны (иначе формула не имеет смысла): \(c \geqslant 0\), \(a^2 - b^2c \geqslant 0\) и \(a - \sqrt{a^2 - b^2c} \geqslant 0\); тогда и \(a + \sqrt{a^2 - b^2c} \geqslant 0\).
Правая часть формулы — сумма двух арифметических квадратных корней, поэтому она неотрицательна. Найдём её квадрат. Квадрат каждого слагаемого равен его подкоренному выражению, поэтому сумма квадратов слагаемых равна \[\frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c}}{2} + \frac{a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2} = \frac{2a}{2} = a.\]
Произведение слагаемых найдём по правилу умножения корней; в числителе получается произведение суммы и разности двух выражений, а \(\sqrt{b^2c} = b\sqrt{c}\) при \(b > 0\): \[\begin{aligned} &\sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} \cdot \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} = {} \\ &= \sqrt{\frac{a^2 - (a^2 - b^2c)}{4}} = \sqrt{\frac{b^2c}{4}} = \frac{b\sqrt{c}}{2}. \end{aligned}\]
Квадрат суммы равен сумме квадратов слагаемых плюс их удвоенное произведение, поэтому квадрат правой части равен \(a + 2 \cdot \frac{b\sqrt{c}}{2} = a + b\sqrt{c}\).
Правая часть неотрицательна, а её квадрат равен \(a + b\sqrt{c}\); значит, по определению арифметического квадратного корня она равна \(\sqrt{a + b\sqrt{c}}\), что и требовалось доказать.
Ответ: формула доказана: её правая часть неотрицательна, а квадрат правой части равен \(a + b\sqrt{c}\).
