Страница 100 номер 2.147, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Упростите выражение (2.147—2.148).
а) \((2\sqrt{3}-3\sqrt{2})(2\sqrt{3}+3\sqrt{2})\);
б) \((\sqrt{32}-3\sqrt{12})(2\sqrt{8}+\sqrt{108})\);
в) \((3\sqrt{5}-2\sqrt{6})^2\);
г) \((2-\sqrt{6})^2-(5+\sqrt{2})^2\).
а) \[\begin{aligned} &(2\sqrt{3} - 3\sqrt{2})(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}) = (2\sqrt{3})^2 - (3\sqrt{2})^2 = {} \\ &= 4 \cdot 3 - 9 \cdot 2 = 12 - 18 = -6. \end{aligned}\]
б) \(\sqrt{32} = 4\sqrt{2}\), \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\), \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\), \(\sqrt{108} = 6\sqrt{3}\): \[\begin{aligned} &(\sqrt{32} - 3\sqrt{12})(2\sqrt{8} + \sqrt{108}) = {} \\ &= (4\sqrt{2} - 6\sqrt{3})(4\sqrt{2} + 6\sqrt{3}) = (4\sqrt{2})^2 - (6\sqrt{3})^2 = {} \\ &= 16 \cdot 2 - 36 \cdot 3 = 32 - 108 = -76. \end{aligned}\]
в) \[\begin{aligned} &(3\sqrt{5} - 2\sqrt{6})^2 = (3\sqrt{5})^2 - 2 \cdot 3\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{6} + (2\sqrt{6})^2 = {} \\ &= 45 - 12\sqrt{30} + 24 = 69 - 12\sqrt{30}. \end{aligned}\]
г) \[\begin{aligned} &(2 - \sqrt{6})^2 - (5 + \sqrt{2})^2 = (4 - 4\sqrt{6} + 6) - (25 + 10\sqrt{2} + 2) = {} \\ &= 10 - 4\sqrt{6} - 27 - 10\sqrt{2} = -17 - 4\sqrt{6} - 10\sqrt{2}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(-6\); б) \(-76\); в) \(69 - 12\sqrt{30}\); г) \(-17 - 4\sqrt{6} - 10\sqrt{2}\).
Упростите выражение (2.147—2.148).
а) \((2\sqrt{3}-3\sqrt{2})(2\sqrt{3}+3\sqrt{2})\);
б) \((\sqrt{32}-3\sqrt{12})(2\sqrt{8}+\sqrt{108})\);
в) \((3\sqrt{5}-2\sqrt{6})^2\);
г) \((2-\sqrt{6})^2-(5+\sqrt{2})^2\).
а) Произведение разности двух выражений и их суммы преобразуем по формуле \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\): \[\begin{aligned} &(2\sqrt{3} - 3\sqrt{2})(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}) = (2\sqrt{3})^2 - (3\sqrt{2})^2 = {} \\ &= 4 \cdot 3 - 9 \cdot 2 = 12 - 18 = -6. \end{aligned}\]
б) Вынесем множители из-под знака корня: \(\sqrt{32} = 4\sqrt{2}\), \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\), \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\), \(\sqrt{108} = 6\sqrt{3}\). Получится произведение разности и суммы одних и тех же выражений: \[\begin{aligned} &(\sqrt{32} - 3\sqrt{12})(2\sqrt{8} + \sqrt{108}) = {} \\ &= (4\sqrt{2} - 6\sqrt{3})(4\sqrt{2} + 6\sqrt{3}) = (4\sqrt{2})^2 - (6\sqrt{3})^2 = {} \\ &= 16 \cdot 2 - 36 \cdot 3 = 32 - 108 = -76. \end{aligned}\]
в) По формуле квадрата разности \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\): \[\begin{aligned} &(3\sqrt{5} - 2\sqrt{6})^2 = (3\sqrt{5})^2 - 2 \cdot 3\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{6} + (2\sqrt{6})^2 = {} \\ &= 45 - 12\sqrt{30} + 24 = 69 - 12\sqrt{30}. \end{aligned}\]
г) По формулам квадрата разности и квадрата суммы: \[\begin{aligned} &(2 - \sqrt{6})^2 - (5 + \sqrt{2})^2 = (4 - 4\sqrt{6} + 6) - (25 + 10\sqrt{2} + 2) = {} \\ &= 10 - 4\sqrt{6} - 27 - 10\sqrt{2} = -17 - 4\sqrt{6} - 10\sqrt{2}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(-6\); б) \(-76\); в) \(69 - 12\sqrt{30}\); г) \(-17 - 4\sqrt{6} - 10\sqrt{2}\).
