Страница 109 номер 2.179, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Упростите выражение (2.178—2.180).
а) \(\sqrt{7+2\sqrt{10}}\);
б) \(\sqrt{7-2\sqrt{10}}\);
в) \(\sqrt{8+2\sqrt{15}}\);
г) \(\sqrt{8-2\sqrt{15}}\).
а) Пусть \(\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}\) с натуральными \(x\) и \(y\). Тогда \(7 + 2\sqrt{10} = x + y + 2\sqrt{xy}\), и \(x + y = 7\), \(xy = 10\): подходят \(x = 5\), \(y = 2\) и \(x = 2\), \(y = 5\), обе пары дают одну и ту же сумму. Значит, \[\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{5} + \sqrt{2}.\]
б) Пусть \(\sqrt{7 - 2\sqrt{10}} = \sqrt{x} - \sqrt{y}\) с натуральными \(x\) и \(y\); значение квадратного корня неотрицательно, поэтому \(x \geqslant y\). Тогда \(7 - 2\sqrt{10} = x + y - 2\sqrt{xy}\), и снова \(x + y = 7\), \(xy = 10\). Условию \(x \geqslant y\) удовлетворяет только пара \(x = 5\), \(y = 2\), поэтому \[\sqrt{7 - 2\sqrt{10}} = \sqrt{5} - \sqrt{2}.\]
в) Пусть \(\sqrt{8 + 2\sqrt{15}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}\) с натуральными \(x\) и \(y\). Тогда \(8 + 2\sqrt{15} = x + y + 2\sqrt{xy}\), и \(x + y = 8\), \(xy = 15\): подходят \(x = 5\), \(y = 3\) и \(x = 3\), \(y = 5\), обе пары дают одну и ту же сумму. Значит, \[\sqrt{8 + 2\sqrt{15}} = \sqrt{5} + \sqrt{3}.\]
г) Пусть \(\sqrt{8 - 2\sqrt{15}} = \sqrt{x} - \sqrt{y}\) с натуральными \(x\) и \(y\); значение квадратного корня неотрицательно, поэтому \(x \geqslant y\). Тогда \(8 - 2\sqrt{15} = x + y - 2\sqrt{xy}\), и \(x + y = 8\), \(xy = 15\). Условию \(x \geqslant y\) удовлетворяет только пара \(x = 5\), \(y = 3\), поэтому \[\sqrt{8 - 2\sqrt{15}} = \sqrt{5} - \sqrt{3}.\]
Ответ: а) \(\sqrt{5} + \sqrt{2}\); б) \(\sqrt{5} - \sqrt{2}\); в) \(\sqrt{5} + \sqrt{3}\); г) \(\sqrt{5} - \sqrt{3}\).
Упростите выражение (2.178—2.180).
а) \(\sqrt{7+2\sqrt{10}}\);
б) \(\sqrt{7-2\sqrt{10}}\);
в) \(\sqrt{8+2\sqrt{15}}\);
г) \(\sqrt{8-2\sqrt{15}}\).
Представим каждое выражение в виде суммы или разности чисел \(\sqrt{x}\) и \(\sqrt{y}\), где \(x\) и \(y\) — натуральные числа.
а) Пусть \(\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}\). Тогда \(7 + 2\sqrt{10} = x + y + 2\sqrt{xy}\). Подберём натуральные \(x\) и \(y\) так, чтобы \(x + y = 7\) и \(xy = 10\): подходят \(x = 5\), \(y = 2\) и \(x = 2\), \(y = 5\), причём обе пары дают одну и ту же сумму. Значит, \[\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{5} + \sqrt{2}.\]
б) Пусть \(\sqrt{7 - 2\sqrt{10}} = \sqrt{x} - \sqrt{y}\); значение квадратного корня неотрицательно, поэтому \(x \geqslant y\). Тогда \(7 - 2\sqrt{10} = x + y - 2\sqrt{xy}\), и снова \(x + y = 7\), \(xy = 10\). Условию \(x \geqslant y\) удовлетворяет только пара \(x = 5\), \(y = 2\), поэтому \[\sqrt{7 - 2\sqrt{10}} = \sqrt{5} - \sqrt{2}.\]
в) Пусть \(\sqrt{8 + 2\sqrt{15}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}\). Тогда \(8 + 2\sqrt{15} = x + y + 2\sqrt{xy}\), и \(x + y = 8\), \(xy = 15\): подходят \(x = 5\), \(y = 3\) и \(x = 3\), \(y = 5\), обе пары дают одну и ту же сумму. Значит, \[\sqrt{8 + 2\sqrt{15}} = \sqrt{5} + \sqrt{3}.\]
г) Пусть \(\sqrt{8 - 2\sqrt{15}} = \sqrt{x} - \sqrt{y}\); значение квадратного корня неотрицательно, поэтому \(x \geqslant y\). Тогда \(8 - 2\sqrt{15} = x + y - 2\sqrt{xy}\), и \(x + y = 8\), \(xy = 15\). Условию \(x \geqslant y\) удовлетворяет только пара \(x = 5\), \(y = 3\), поэтому \[\sqrt{8 - 2\sqrt{15}} = \sqrt{5} - \sqrt{3}.\]
Ответ: а) \(\sqrt{5} + \sqrt{2}\); б) \(\sqrt{5} - \sqrt{2}\); в) \(\sqrt{5} + \sqrt{3}\); г) \(\sqrt{5} - \sqrt{3}\).
