Это надо знать на странице 110, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
\(a = \sqrt{S}\) — сторона квадрата, площадь которого равна \(S\).
При \(S = 25\) сторона \(a = \sqrt{25} = 5\), так как \(5^2 = 25\).
При \(S = 36\) сторона \(a = \sqrt{36} = 6\), так как \(6^2 = 36\).
При \(S = 0{,}01\) сторона \(a = \sqrt{0{,}01} = 0{,}1\), так как \(0{,}1^2 = 0{,}01\).
Ответ: \(a = \sqrt{S}\); при \(S = 25\) сторона равна 5, при \(S = 36\) — 6, при \(S = 0{,}01\) — \(0{,}1\).
Квадраты противоположных чисел равны, поэтому достаточно рассмотреть положительное число \(a\), для которого \(a^2 = 2\).
Целым оно быть не может: \(1^2 < 2 < 2^2\), поэтому \(1 < a < 2\), а целых чисел между 1 и 2 нет.
Допустим, что \(a\) — несократимая дробь \(\frac{p}{q}\) со знаменателем, не равным 1. Числа \(p\) и \(q\) не имеют общих делителей, отличных от 1, поэтому их не имеют и числа \(p^2\) и \(q^2\): дробь \(\frac{p^2}{q^2}\) тоже несократима, её знаменатель не равен 1, и она не может быть равна целому числу 2 — противоречие.
Значит, рационального числа, квадрат которого равен 2, не существует, и \(\sqrt{2}\) — иррациональное число; \((\sqrt{2})^2 = 2\).
Ответ: не существует; \(\sqrt{2}\) — иррациональное число; \((\sqrt{2})^2 = 2\).
Если исключить из натурального ряда квадраты целых чисел \(1, 4, 9, 16, 25, \ldots\), то останутся числа \(2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, \ldots\) — их нельзя представить в виде квадрата рационального числа; например, это 2, 3, 5, 6, 7.
\((\sqrt{8})^2 = 8\), \((\sqrt{10})^2 = 10\), \((\sqrt{101})^2 = 101\).
Противоположные им числа — \(-\sqrt{8}\), \(-\sqrt{10}\), \(-\sqrt{101}\).
Ответ: например, 2, 3, 5, 6, 7; \(\sqrt{8}\), \(\sqrt{10}\), \(\sqrt{101}\); противоположные им числа — \(-\sqrt{8}\), \(-\sqrt{10}\), \(-\sqrt{101}\).
По теореме Пифагора отрезок длины \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\) или \(\sqrt{5}\) можно получить как гипотенузу прямоугольного треугольника, у которого сумма квадратов катетов равна 2, 3 или 5. Треугольники строим на координатной плоскости: одна вершина — начало координат \(O\), один катет лежит на оси \(x\), другой — вертикальный отрезок длины 1; дуга окружности с центром \(O\) переносит гипотенузу на ось \(x\).
Катеты 1 и 1: гипотенуза \(OA = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\).
Катеты \(\sqrt{2}\) (отрезок оси \(x\) от \(O\) до точки \(\sqrt{2}\)) и 1: гипотенуза \(OB = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}\).
Катеты 2 и 1: гипотенуза \(OC = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}\).
Ответ: отрезки длины \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\) и \(\sqrt{5}\) — гипотенузы прямоугольных треугольников с катетами 1 и 1, \(\sqrt{2}\) и 1, 2 и 1.
Число \(b\) называют квадратным корнем из числа \(a\), если \(b^2 = a\).
Например, 6 и \(-6\) — квадратные корни из 36, так как \(6^2 = 36\) и \((-6)^2 = 36\); \(0{,}3\) и \(-0{,}3\) — квадратные корни из \(0{,}09\), так как \(0{,}3^2 = 0{,}09\) и \((-0{,}3)^2 = 0{,}09\); квадратный корень из 0 один — само число 0.
Из положительного числа \(a\) квадратных корней два — противоположные числа, их обозначают \(\sqrt{a}\) и \(-\sqrt{a}\).
Квадратного корня из отрицательного числа не существует: квадрат любого числа либо положителен, либо равен 0.
Неотрицательный квадратный корень из числа \(a\) называют арифметическим квадратным корнем из \(a\); именно его обозначают символом \(\sqrt{a}\).
Ответ: число \(b\) — квадратный корень из числа \(a\), если \(b^2 = a\) (например, 6 и \(-6\) — квадратные корни из 36); из положительного числа \(a\) квадратных корней два — \(\sqrt{a}\) и \(-\sqrt{a}\); квадратного корня из отрицательного числа не существует; арифметическим называют неотрицательный квадратный корень.
Корни уравнения \(x^2 = a\) — квадратные корни из числа \(a\): при \(a > 0\) их два, \(\sqrt{a}\) и \(-\sqrt{a}\); при \(a = 0\) единственный корень — число 0; при \(a < 0\) корней нет.
Уравнение \(x^2 = 16\) имеет два корня, так как \(16 > 0\): \(x = \sqrt{16} = 4\) или \(x = -\sqrt{16} = -4\).
Уравнение \(x^2 = 10\) имеет два корня, так как \(10 > 0\): \(x = \sqrt{10}\) или \(x = -\sqrt{10}\).
Уравнение \(x^2 = 0\) имеет единственный корень \(x = 0\).
Уравнение \(x^2 = -9\) корней не имеет, так как \(-9 < 0\).
Ответ: при \(a > 0\) — два корня, при \(a = 0\) — один корень, при \(a < 0\) — ни одного; уравнение \(x^2 = 16\) имеет корни 4; \(-4\), уравнение \(x^2 = 10\) — корни \(\sqrt{10}\); \(-\sqrt{10}\), уравнение \(x^2 = 0\) — корень 0, уравнение \(x^2 = -9\) корней не имеет.
При любых \(a \geqslant 0\) и \(b \geqslant 0\) верно равенство \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\).
\[\sqrt{225 \cdot 144} = \sqrt{225} \cdot \sqrt{144} = 15 \cdot 12 = 180.\]
Ответ: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) при \(a \geqslant 0\), \(b \geqslant 0\); \(\sqrt{225 \cdot 144} = 180\).
При любых \(a \geqslant 0\) и \(b > 0\) верно равенство \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\).
\[\sqrt{\frac{196}{25}} = \frac{\sqrt{196}}{\sqrt{25}} = \frac{14}{5}.\]
Ответ: \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) при \(a \geqslant 0\), \(b > 0\); \(\sqrt{\frac{196}{25}} = \frac{14}{5}\).
а) Подкоренное число представляют в виде произведения, один из множителей которого — квадрат натурального числа, причём наибольший возможный: \(128 = 64 \cdot 2 = 8^2 \cdot 2\). Корень из квадрата натурального числа равен этому числу, и оно становится множителем перед корнем: \[\sqrt{128} = \sqrt{8^2 \cdot 2} = \sqrt{8^2} \cdot \sqrt{2} = 8\sqrt{2}.\]
б) Под знак корня можно вносить только положительный множитель; множитель 5 положителен. Его записывают в виде корня из его квадрата, \(5 = \sqrt{5^2}\), и перемножают корни: \[5\sqrt{3} = \sqrt{5^2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = \sqrt{75}.\]
Ответ: а) подкоренное число раскладывают на множители, один из которых — квадрат натурального числа, и записывают корень из этого квадрата множителем перед корнем: \(\sqrt{128} = \sqrt{8^2 \cdot 2} = 8\sqrt{2}\); б) положительный множитель записывают как корень из его квадрата и перемножают корни: \(5\sqrt{3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = \sqrt{75}\).
Сторона квадрата, площадь которого равна \(S\), — положительное число, квадрат которого равен \(S\). Её находят по формуле \[a = \sqrt{S}.\]
При \(S = 25\) сторона \(a = \sqrt{25} = 5\), так как \(5^2 = 25\).
При \(S = 36\) сторона \(a = \sqrt{36} = 6\), так как \(6^2 = 36\).
При \(S = 0{,}01\) сторона \(a = \sqrt{0{,}01} = 0{,}1\), так как \(0{,}1^2 = 0{,}01\).
Ответ: \(a = \sqrt{S}\); при \(S = 25\) сторона равна 5, при \(S = 36\) — 6, при \(S = 0{,}01\) — \(0{,}1\).
Квадраты противоположных чисел равны, поэтому достаточно рассмотреть положительное число \(a\), для которого \(a^2 = 2\).
Целым это число быть не может: \(1^2 < 2 < 2^2\), поэтому \(1 < a < 2\), а целых чисел между 1 и 2 нет.
Допустим, что \(a\) — дробное число. Запишем его несократимой дробью \(\frac{p}{q}\), знаменатель которой не равен 1. Числа \(p\) и \(q\) не имеют общих делителей, отличных от 1, поэтому их не имеют и числа \(p^2\) и \(q^2\): дробь \(\frac{p^2}{q^2}\) тоже несократима, и её знаменатель не равен 1. Но несократимая дробь со знаменателем, не равным 1, не может быть равна целому числу 2 — пришли к противоречию.
Значит, нет ни целого, ни дробного числа, квадрат которого равен 2, то есть такого рационального числа не существует. Поэтому число \(\sqrt{2}\) — длина стороны квадрата, площадь которого равна 2, — не рациональное, а иррациональное число. По определению квадратного корня \(\sqrt{2}\) — положительное число, квадрат которого равен 2, поэтому \((\sqrt{2})^2 = 2\).
Ответ: не существует; \(\sqrt{2}\) — иррациональное число; \((\sqrt{2})^2 = 2\).
Если из натурального ряда исключить квадраты целых чисел \(1, 4, 9, 16, 25, \ldots\), то останутся натуральные числа \(2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, \ldots\): их нельзя представить в виде квадрата рационального числа, а квадратные корни из них — иррациональные числа. Например, это числа 2, 3, 5, 6, 7.
Квадрат числа \(\sqrt{8}\) равен 8, квадрат числа \(\sqrt{10}\) равен 10, квадрат числа \(\sqrt{101}\) равен 101: \((\sqrt{8})^2 = 8\), \((\sqrt{10})^2 = 10\), \((\sqrt{101})^2 = 101\).
Противоположные им числа — \(-\sqrt{8}\), \(-\sqrt{10}\), \(-\sqrt{101}\); их квадраты тоже равны 8, 10 и 101, так как квадраты противоположных чисел равны.
Ответ: например, 2, 3, 5, 6, 7; \(\sqrt{8}\), \(\sqrt{10}\), \(\sqrt{101}\); противоположные им числа — \(-\sqrt{8}\), \(-\sqrt{10}\), \(-\sqrt{101}\).
По теореме Пифагора квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Поэтому отрезок длины \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\) или \(\sqrt{5}\) можно получить как гипотенузу прямоугольного треугольника, у которого сумма квадратов катетов равна 2, 3 или 5. Построим такие треугольники на координатной плоскости: одна вершина — начало координат \(O\), один катет лежит на оси \(x\), другой — вертикальный отрезок длины 1; дуга окружности с центром \(O\) переносит гипотенузу на ось \(x\).
Треугольник с катетами 1 и 1: гипотенуза \(OA = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\).
Треугольник с катетами \(\sqrt{2}\) (отрезок оси \(x\) от \(O\) до точки \(\sqrt{2}\)) и 1: гипотенуза \(OB = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}\).
Треугольник с катетами 2 и 1: гипотенуза \(OC = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}\).
Ответ: отрезки длины \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\) и \(\sqrt{5}\) — гипотенузы прямоугольных треугольников с катетами 1 и 1, \(\sqrt{2}\) и 1, 2 и 1.
Число \(b\) называют квадратным корнем из числа \(a\), если \(b^2 = a\).
Например, числа 6 и \(-6\) — квадратные корни из 36, так как \(6^2 = 36\) и \((-6)^2 = 36\); числа \(0{,}3\) и \(-0{,}3\) — квадратные корни из \(0{,}09\), так как \(0{,}3^2 = 0{,}09\) и \((-0{,}3)^2 = 0{,}09\); квадратный корень из 0 один — само число 0.
Если число \(a\) положительно, то квадратных корней из него два. Это противоположные числа: один из них положителен, другой отрицателен; их обозначают \(\sqrt{a}\) и \(-\sqrt{a}\).
Квадратного корня из отрицательного числа не существует: квадрат любого числа либо положителен, либо равен 0.
Неотрицательный квадратный корень из числа \(a\) называют арифметическим квадратным корнем из \(a\); именно его обозначают символом \(\sqrt{a}\). Поэтому равенство \(\sqrt{a} = b\) означает, что \(b^2 = a\) и \(b \geqslant 0\).
Ответ: число \(b\) — квадратный корень из числа \(a\), если \(b^2 = a\) (например, 6 и \(-6\) — квадратные корни из 36); из положительного числа \(a\) квадратных корней два — \(\sqrt{a}\) и \(-\sqrt{a}\); квадратного корня из отрицательного числа не существует; арифметическим называют неотрицательный квадратный корень.
Корни уравнения \(x^2 = a\) — это квадратные корни из числа \(a\). Поэтому если \(a > 0\), то уравнение имеет два корня: \(\sqrt{a}\) и \(-\sqrt{a}\); если \(a = 0\), то единственный корень — число 0; если \(a < 0\), то уравнение корней не имеет.
Уравнение \(x^2 = 16\) имеет два корня, так как \(16 > 0\): \(x = \sqrt{16} = 4\) или \(x = -\sqrt{16} = -4\).
Уравнение \(x^2 = 10\) имеет два корня, так как \(10 > 0\): \(x = \sqrt{10}\) или \(x = -\sqrt{10}\).
Уравнение \(x^2 = 0\) имеет единственный корень \(x = 0\).
Уравнение \(x^2 = -9\) корней не имеет, так как \(-9 < 0\).
Ответ: при \(a > 0\) — два корня, при \(a = 0\) — один корень, при \(a < 0\) — ни одного; уравнение \(x^2 = 16\) имеет корни 4; \(-4\), уравнение \(x^2 = 10\) — корни \(\sqrt{10}\); \(-\sqrt{10}\), уравнение \(x^2 = 0\) — корень 0, уравнение \(x^2 = -9\) корней не имеет.
Корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел: при любых \(a \geqslant 0\) и \(b \geqslant 0\) верно равенство \[\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}.\]
Применим теорему к данному выражению: \[\sqrt{225 \cdot 144} = \sqrt{225} \cdot \sqrt{144} = 15 \cdot 12 = 180.\]
Ответ: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) при \(a \geqslant 0\), \(b \geqslant 0\); \(\sqrt{225 \cdot 144} = 180\).
Корень из частного от деления неотрицательного числа на положительное равен частному корней из этих чисел: при любых \(a \geqslant 0\) и \(b > 0\) верно равенство \[\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.\]
Применим теорему к данному выражению: \[\sqrt{\frac{196}{25}} = \frac{\sqrt{196}}{\sqrt{25}} = \frac{14}{5}.\]
Ответ: \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) при \(a \geqslant 0\), \(b > 0\); \(\sqrt{\frac{196}{25}} = \frac{14}{5}\).
а) Подкоренное число представляют в виде произведения, один из множителей которого — квадрат натурального числа, причём наибольший возможный: \(128 = 64 \cdot 2 = 8^2 \cdot 2\). Затем применяют свойство корня из произведения: корень из квадрата натурального числа равен этому числу, и оно становится множителем перед корнем: \[\sqrt{128} = \sqrt{8^2 \cdot 2} = \sqrt{8^2} \cdot \sqrt{2} = 8\sqrt{2}.\]
б) Под знак корня можно вносить только положительный множитель; множитель 5 положителен. Его записывают в виде корня из его квадрата, \(5 = \sqrt{5^2}\), и пользуются правилом умножения корней: \[5\sqrt{3} = \sqrt{5^2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = \sqrt{75}.\]
Ответ: а) подкоренное число раскладывают на множители, один из которых — квадрат натурального числа, и записывают корень из этого квадрата множителем перед корнем: \(\sqrt{128} = \sqrt{8^2 \cdot 2} = 8\sqrt{2}\); б) положительный множитель записывают как корень из его квадрата и перемножают корни: \(5\sqrt{3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = \sqrt{75}\).
