Страница 109 номер 2.180, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Упростите выражение (2.178—2.180).
а) \(\sqrt{17-12\sqrt{2}}\);
б) \(2\sqrt{\sqrt{14+6\sqrt{5}}}\).
а) Пусть \(\sqrt{17 - 12\sqrt{2}} = x + y\sqrt{2}\), где \(x\) и \(y\) — целые числа. Тогда \[17 - 12\sqrt{2} = (x + y\sqrt{2})^2 = (x^2 + 2y^2) + 2xy\sqrt{2}.\]
Подберём \(x\) и \(y\) так, чтобы \(x^2 + 2y^2 = 17\) и \(2xy = -12\), то есть \(xy = -6\). Целые пары с произведением \(-6\) — это \(x = 1\), \(y = -6\);
\(x = 2\), \(y = -3\);
\(x = 3\), \(y = -2\);
\(x = 6\), \(y = -1\) и пары, получаемые из них заменой обоих чисел на противоположные. Для первых четырёх пар \(x^2 + 2y^2\) равно соответственно \(1 + 72 = 73\), \(4 + 18 = 22\), \(9 + 8 = 17\), \(36 + 2 = 38\), для остальных — те же значения. Первому равенству удовлетворяют только \(x = 3\), \(y = -2\) и \(x = -3\), \(y = 2\): выражение равно либо \(3 - 2\sqrt{2}\), либо \(-3 + 2\sqrt{2}\). Так как \(2\sqrt{2} = \sqrt{8} < \sqrt{9} = 3\), то \(-3 + 2\sqrt{2} < 0\), а \(3 - 2\sqrt{2} > 0\); значение квадратного корня неотрицательно, поэтому
\[\sqrt{17 - 12\sqrt{2}} = 3 - 2\sqrt{2}.\]
б) Пусть \(\sqrt{14 + 6\sqrt{5}} = x + y\sqrt{5}\) с целыми \(x\) и \(y\). Из равенства \(14 + 6\sqrt{5} = (x + y\sqrt{5})^2 = (x^2 + 5y^2) + 2xy\sqrt{5}\) получаем \(x^2 + 5y^2 = 14\) и \(2xy = 6\), то есть \(xy = 3\). Возможны пары \(x = 1\), \(y = 3\);
\(x = 3\), \(y = 1\);
\(x = -1\), \(y = -3\);
\(x = -3\), \(y = -1\); первому равенству удовлетворяют только \(x = 3\), \(y = 1\) и \(x = -3\), \(y = -1\): \(3^2 + 5 \cdot 1^2 = 14\), а \(1^2 + 5 \cdot 3^2 = 46\). Число \(-3 - \sqrt{5}\) отрицательно, а значение квадратного корня неотрицательно, поэтому \(\sqrt{14 + 6\sqrt{5}} = 3 + \sqrt{5}\).
Значит, данное выражение равно \(2\sqrt{3 + \sqrt{5}}\); \(4\sqrt{5}\) запишем как \(2\sqrt{20}\), так как \(2\sqrt{5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{20}\): \[\begin{aligned} &2\sqrt{3 + \sqrt{5}} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3 + \sqrt{5}} = \sqrt{4(3 + \sqrt{5})} = {} \\ &= \sqrt{12 + 4\sqrt{5}} = \sqrt{12 + 2\sqrt{20}}. \end{aligned}\]
Пусть \(\sqrt{12 + 2\sqrt{20}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}\) с натуральными \(x\) и \(y\). Из равенства \(12 + 2\sqrt{20} = x + y + 2\sqrt{xy}\) получаем \(x + y = 12\) и \(xy = 20\); подходят \(x = 10\), \(y = 2\) и \(x = 2\), \(y = 10\), обе пары дают одну и ту же сумму. Значит, \[2\sqrt{\sqrt{14 + 6\sqrt{5}}} = \sqrt{10} + \sqrt{2}.\]
Ответ: а) \(3 - 2\sqrt{2}\); б) \(\sqrt{10} + \sqrt{2}\).
Упростите выражение (2.178—2.180).
а) \(\sqrt{17-12\sqrt{2}}\);
б) \(2\sqrt{\sqrt{14+6\sqrt{5}}}\).
а) Запишем выражение в виде \(x + y\sqrt{2}\), где \(x\) и \(y\) — целые числа: \[\sqrt{17 - 12\sqrt{2}} = x + y\sqrt{2}.\]
Тогда \[17 - 12\sqrt{2} = (x + y\sqrt{2})^2 = (x^2 + 2y^2) + 2xy\sqrt{2}.\]
Подберём такие целые числа \(x\) и \(y\), чтобы \(x^2 + 2y^2 = 17\) и \(2xy = -12\), то есть \(xy = -6\). Целые пары с произведением \(-6\) — это \(x = 1\), \(y = -6\);
\(x = 2\), \(y = -3\);
\(x = 3\), \(y = -2\);
\(x = 6\), \(y = -1\) и пары, получаемые из них заменой обоих чисел на противоположные. Для первых четырёх пар \(x^2 + 2y^2\) равно соответственно \(1 + 72 = 73\), \(4 + 18 = 22\), \(9 + 8 = 17\), \(36 + 2 = 38\), а для пар с противоположными числами получаются те же значения. Первому равенству удовлетворяют только \(x = 3\), \(y = -2\) и \(x = -3\), \(y = 2\), поэтому выражение равно либо \(3 - 2\sqrt{2}\), либо \(-3 + 2\sqrt{2}\). Так как \(2\sqrt{2} = \sqrt{8} < \sqrt{9} = 3\), то \(-3 + 2\sqrt{2} < 0\), а \(3 - 2\sqrt{2} > 0\). Значение квадратного корня неотрицательно, поэтому
\[\sqrt{17 - 12\sqrt{2}} = 3 - 2\sqrt{2}.\]
б) Упростим внутренний двойной радикал \(\sqrt{14 + 6\sqrt{5}}\), записав его в виде \(x + y\sqrt{5}\) с целыми \(x\) и \(y\). Из равенства \(14 + 6\sqrt{5} = (x + y\sqrt{5})^2 = (x^2 + 5y^2) + 2xy\sqrt{5}\) получаем \(x^2 + 5y^2 = 14\) и \(2xy = 6\), то есть \(xy = 3\). Возможны пары \(x = 1\), \(y = 3\);
\(x = 3\), \(y = 1\);
\(x = -1\), \(y = -3\);
\(x = -3\), \(y = -1\); первому равенству удовлетворяют только \(x = 3\), \(y = 1\) и \(x = -3\), \(y = -1\): \(3^2 + 5 \cdot 1^2 = 14\), а \(1^2 + 5 \cdot 3^2 = 46\). Число \(-3 - \sqrt{5}\) отрицательно, а значение квадратного корня неотрицательно, поэтому \(\sqrt{14 + 6\sqrt{5}} = 3 + \sqrt{5}\).
Значит, данное выражение равно \(2\sqrt{3 + \sqrt{5}}\). Внесём множитель 2 под знак корня и запишем \(4\sqrt{5}\) как \(2\sqrt{20}\) (так как \(2\sqrt{5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{20}\)): \[\begin{aligned} &2\sqrt{3 + \sqrt{5}} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3 + \sqrt{5}} = \sqrt{4(3 + \sqrt{5})} = {} \\ &= \sqrt{12 + 4\sqrt{5}} = \sqrt{12 + 2\sqrt{20}}. \end{aligned}\]
Представим \(\sqrt{12 + 2\sqrt{20}}\) в виде \(\sqrt{x} + \sqrt{y}\) с натуральными \(x\) и \(y\). Из равенства \(12 + 2\sqrt{20} = x + y + 2\sqrt{xy}\) получаем \(x + y = 12\) и \(xy = 20\); подходят \(x = 10\), \(y = 2\) и \(x = 2\), \(y = 10\), обе пары дают одну и ту же сумму. Значит, \[2\sqrt{\sqrt{14 + 6\sqrt{5}}} = \sqrt{10} + \sqrt{2}.\]
Ответ: а) \(3 - 2\sqrt{2}\); б) \(\sqrt{10} + \sqrt{2}\).
