Страница 109 номер 2.178, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Упростите выражение (2.178—2.180).
а) \(\sqrt{27+10\sqrt{2}}\);
б) \(\sqrt{9+4\sqrt{5}}\).
а) Пусть \(\sqrt{27 + 10\sqrt{2}} = x + y\sqrt{2}\), где \(x\) и \(y\) — целые числа. Тогда \[27 + 10\sqrt{2} = (x + y\sqrt{2})^2 = (x^2 + 2y^2) + 2xy\sqrt{2}.\]
Подберём \(x\) и \(y\) так, чтобы \(x^2 + 2y^2 = 27\) и \(2xy = 10\). Из второго равенства \(xy = 5\): возможны пары \(x = 1\), \(y = 5\);
\(x = 5\), \(y = 1\);
\(x = -1\), \(y = -5\);
\(x = -5\), \(y = -1\). Первому равенству удовлетворяют только \(x = 5\), \(y = 1\) и \(x = -5\), \(y = -1\): \(5^2 + 2 \cdot 1^2 = 27\), а \(1^2 + 2 \cdot 5^2 = 51\). Выражение равно либо \(5 + \sqrt{2}\), либо \(-5 - \sqrt{2}\), но \(-5 - \sqrt{2} < 0\), а значение квадратного корня неотрицательно, поэтому
\[\sqrt{27 + 10\sqrt{2}} = 5 + \sqrt{2}.\]
б) Пусть \(\sqrt{9 + 4\sqrt{5}} = x + y\sqrt{5}\), где \(x\) и \(y\) — целые числа. Тогда \[9 + 4\sqrt{5} = (x + y\sqrt{5})^2 = (x^2 + 5y^2) + 2xy\sqrt{5}.\]
Подберём \(x\) и \(y\) так, чтобы \(x^2 + 5y^2 = 9\) и \(2xy = 4\). Из второго равенства \(xy = 2\): возможны пары \(x = 1\), \(y = 2\);
\(x = 2\), \(y = 1\);
\(x = -1\), \(y = -2\);
\(x = -2\), \(y = -1\). Первому равенству удовлетворяют только \(x = 2\), \(y = 1\) и \(x = -2\), \(y = -1\): \(2^2 + 5 \cdot 1^2 = 9\), а \(1^2 + 5 \cdot 2^2 = 21\). Выражение равно либо \(2 + \sqrt{5}\), либо \(-2 - \sqrt{5}\), но \(-2 - \sqrt{5} < 0\), а значение квадратного корня неотрицательно, поэтому
\[\sqrt{9 + 4\sqrt{5}} = 2 + \sqrt{5}.\]
Ответ: а) \(5 + \sqrt{2}\); б) \(2 + \sqrt{5}\).
Упростите выражение (2.178—2.180).
а) \(\sqrt{27+10\sqrt{2}}\);
б) \(\sqrt{9+4\sqrt{5}}\).
а) Запишем выражение в виде \(x + y\sqrt{2}\), где \(x\) и \(y\) — целые числа: \[\sqrt{27 + 10\sqrt{2}} = x + y\sqrt{2}.\]
Тогда \[27 + 10\sqrt{2} = (x + y\sqrt{2})^2 = (x^2 + 2y^2) + 2xy\sqrt{2}.\]
Подберём такие целые числа \(x\) и \(y\), чтобы выполнялись равенства \(x^2 + 2y^2 = 27\) и \(2xy = 10\). Из второго равенства \(xy = 5\), поэтому возможны пары \(x = 1\), \(y = 5\);
\(x = 5\), \(y = 1\);
\(x = -1\), \(y = -5\);
\(x = -5\), \(y = -1\). Первому равенству удовлетворяют только \(x = 5\), \(y = 1\) и \(x = -5\), \(y = -1\): \(5^2 + 2 \cdot 1^2 = 27\), а \(1^2 + 2 \cdot 5^2 = 51\). Значит, выражение равно либо \(5 + \sqrt{2}\), либо \(-5 - \sqrt{2}\). Но \(-5 - \sqrt{2} < 0\), а значение квадратного корня неотрицательно, поэтому
\[\sqrt{27 + 10\sqrt{2}} = 5 + \sqrt{2}.\]
б) Запишем выражение в виде \(x + y\sqrt{5}\), где \(x\) и \(y\) — целые числа: \[\sqrt{9 + 4\sqrt{5}} = x + y\sqrt{5}.\]
Тогда \[9 + 4\sqrt{5} = (x + y\sqrt{5})^2 = (x^2 + 5y^2) + 2xy\sqrt{5}.\]
Подберём такие целые числа \(x\) и \(y\), чтобы \(x^2 + 5y^2 = 9\) и \(2xy = 4\). Из второго равенства \(xy = 2\), поэтому возможны пары \(x = 1\), \(y = 2\);
\(x = 2\), \(y = 1\);
\(x = -1\), \(y = -2\);
\(x = -2\), \(y = -1\). Первому равенству удовлетворяют только \(x = 2\), \(y = 1\) и \(x = -2\), \(y = -1\): \(2^2 + 5 \cdot 1^2 = 9\), а \(1^2 + 5 \cdot 2^2 = 21\). Значит, выражение равно либо \(2 + \sqrt{5}\), либо \(-2 - \sqrt{5}\). Но \(-2 - \sqrt{5} < 0\), а значение квадратного корня неотрицательно, поэтому
\[\sqrt{9 + 4\sqrt{5}} = 2 + \sqrt{5}.\]
Ответ: а) \(5 + \sqrt{2}\); б) \(2 + \sqrt{5}\).
