Страница 99 номер 2.142, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Примените равенство \(\sqrt{x^2}=|x|\) для преобразования выражений (2.142—2.143).
Упростите выражение:
а) \(\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}\);
б) \(\sqrt{(2-\sqrt{7})^2}\);
в) \(\sqrt{(1-\sqrt{5})^2}\);
г) \(\sqrt{(\sqrt{10}-3)^2}\).
а) Так как \(1^2 = 1 < 3\), то \(1 < \sqrt{3}\) и \(\sqrt{3} - 1 > 0\): \[\sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} = |\sqrt{3} - 1| = \sqrt{3} - 1.\]
б) Так как \(2^2 = 4 < 7\), то \(2 < \sqrt{7}\) и \(2 - \sqrt{7} < 0\): \[\sqrt{(2 - \sqrt{7})^2} = |2 - \sqrt{7}| = -(2 - \sqrt{7}) = \sqrt{7} - 2.\]
в) Так как \(1^2 = 1 < 5\), то \(1 < \sqrt{5}\) и \(1 - \sqrt{5} < 0\): \[\sqrt{(1 - \sqrt{5})^2} = |1 - \sqrt{5}| = -(1 - \sqrt{5}) = \sqrt{5} - 1.\]
г) Так как \(3^2 = 9 < 10\), то \(3 < \sqrt{10}\) и \(\sqrt{10} - 3 > 0\): \[\sqrt{(\sqrt{10} - 3)^2} = |\sqrt{10} - 3| = \sqrt{10} - 3.\]
Ответ: а) \(\sqrt{3} - 1\); б) \(\sqrt{7} - 2\); в) \(\sqrt{5} - 1\); г) \(\sqrt{10} - 3\).
Примените равенство \(\sqrt{x^2}=|x|\) для преобразования выражений (2.142—2.143).
Упростите выражение:
а) \(\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}\);
б) \(\sqrt{(2-\sqrt{7})^2}\);
в) \(\sqrt{(1-\sqrt{5})^2}\);
г) \(\sqrt{(\sqrt{10}-3)^2}\).
По равенству \(\sqrt{x^2} = |x|\) корень из квадрата выражения равен модулю этого выражения. Модуль раскрываем по знаку: модуль неотрицательного числа равен самому числу, модуль отрицательного числа — противоположному числу. Знак разности корня и числа находим сравнением квадратов: если числа \(a\) и \(b\) положительные и \(a^2 < b^2\), то \(a < b\).
а) Так как \(1^2 = 1 < 3\), то \(1 < \sqrt{3}\) и \(\sqrt{3} - 1 > 0\): \[\sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} = |\sqrt{3} - 1| = \sqrt{3} - 1.\]
б) Так как \(2^2 = 4 < 7\), то \(2 < \sqrt{7}\) и \(2 - \sqrt{7} < 0\): \[\sqrt{(2 - \sqrt{7})^2} = |2 - \sqrt{7}| = -(2 - \sqrt{7}) = \sqrt{7} - 2.\]
в) Так как \(1^2 = 1 < 5\), то \(1 < \sqrt{5}\) и \(1 - \sqrt{5} < 0\): \[\sqrt{(1 - \sqrt{5})^2} = |1 - \sqrt{5}| = -(1 - \sqrt{5}) = \sqrt{5} - 1.\]
г) Так как \(3^2 = 9 < 10\), то \(3 < \sqrt{10}\) и \(\sqrt{10} - 3 > 0\): \[\sqrt{(\sqrt{10} - 3)^2} = |\sqrt{10} - 3| = \sqrt{10} - 3.\]
Ответ: а) \(\sqrt{3} - 1\); б) \(\sqrt{7} - 2\); в) \(\sqrt{5} - 1\); г) \(\sqrt{10} - 3\).
