Страница 100 номер 2.151, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
а) Выберите выражение, равное \(\sqrt{16-6\sqrt{7}}\).
1) \(\sqrt{7}-3\) 2) \(\sqrt{7}-\sqrt{3}\) 3) \(3-\sqrt{7}\)
б) Выберите выражение, равное \(\sqrt{8-4\sqrt{3}}\).
1) \(\sqrt{6}-2\) 2) \(\sqrt{2}-\sqrt{6}\) 3) \(\sqrt{6}-\sqrt{2}\)
а) \((3 - \sqrt{7})^2 = 9 - 6\sqrt{7} + 7 = 16 - 6\sqrt{7}\), и \(3 - \sqrt{7} > 0\), так как \(\sqrt{7} < \sqrt{9} = 3\). Значит, \(\sqrt{16 - 6\sqrt{7}} = 3 - \sqrt{7}\) — подходит вариант 3).
Вариант 1) не подходит: квадрат числа \(\sqrt{7} - 3\) тоже равен \(16 - 6\sqrt{7}\), но само это число отрицательно, а значение корня неотрицательно.
Вариант 2) — другое число: \(\sqrt{7} > 2{,}5\), так как \(2{,}5^2 = 6{,}25 < 7\), и \(\sqrt{3} < 2\); поэтому \(\sqrt{7} - \sqrt{3} > 2{,}5 - 2 = 0{,}5\), а \(3 - \sqrt{7} < 3 - 2{,}5 = 0{,}5\).
б) Так как \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\), то \((\sqrt{6} - \sqrt{2})^2 = 6 - 2\sqrt{12} + 2 = 8 - 4\sqrt{3}\); кроме того, \(\sqrt{6} - \sqrt{2} > 0\), так как \(6 > 2\). Значит, \(\sqrt{8 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{6} - \sqrt{2}\) — подходит вариант 3).
Вариант 2) не подходит: квадрат числа \(\sqrt{2} - \sqrt{6}\) тоже равен \(8 - 4\sqrt{3}\), но само это число отрицательно.
Вариант 1) — другое число: \(\sqrt{6} - 2 < \sqrt{6} - \sqrt{2}\), так как \(2 > \sqrt{2}\).
Ответ: а) 3) \(3 - \sqrt{7}\); б) 3) \(\sqrt{6} - \sqrt{2}\).
а) Выберите выражение, равное \(\sqrt{16-6\sqrt{7}}\).
1) \(\sqrt{7}-3\) 2) \(\sqrt{7}-\sqrt{3}\) 3) \(3-\sqrt{7}\)
б) Выберите выражение, равное \(\sqrt{8-4\sqrt{3}}\).
1) \(\sqrt{6}-2\) 2) \(\sqrt{2}-\sqrt{6}\) 3) \(\sqrt{6}-\sqrt{2}\)
По определению арифметического квадратного корня значение \(\sqrt{A}\) — неотрицательное число, квадрат которого равен \(A\), и такое число одно. Поэтому нужен вариант, который неотрицателен и в квадрате даёт подкоренное выражение.
а) \((3 - \sqrt{7})^2 = 9 - 6\sqrt{7} + 7 = 16 - 6\sqrt{7}\), и \(3 - \sqrt{7} > 0\), так как \(\sqrt{7} < \sqrt{9} = 3\). Значит, \(\sqrt{16 - 6\sqrt{7}} = 3 - \sqrt{7}\) — подходит вариант 3).
Вариант 1) не подходит: квадрат числа \(\sqrt{7} - 3\) тоже равен \(16 - 6\sqrt{7}\), но само это число отрицательно, а значение корня неотрицательно. Вариант 2) — другое число: \(\sqrt{7} > 2{,}5\), так как \(2{,}5^2 = 6{,}25 < 7\), и \(\sqrt{3} < 2\); поэтому \(\sqrt{7} - \sqrt{3} > 2{,}5 - 2 = 0{,}5\), а \(3 - \sqrt{7} < 3 - 2{,}5 = 0{,}5\).
б) Так как \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\), то \((\sqrt{6} - \sqrt{2})^2 = 6 - 2\sqrt{12} + 2 = 8 - 4\sqrt{3}\); кроме того, \(\sqrt{6} - \sqrt{2} > 0\), так как \(6 > 2\). Значит, \(\sqrt{8 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{6} - \sqrt{2}\) — подходит вариант 3).
Вариант 2) не подходит: квадрат числа \(\sqrt{2} - \sqrt{6}\) тоже равен \(8 - 4\sqrt{3}\), но само это число отрицательно. Вариант 1) — другое число: \(\sqrt{6} - 2 < \sqrt{6} - \sqrt{2}\), так как \(2 > \sqrt{2}\).
Ответ: а) 3) \(3 - \sqrt{7}\); б) 3) \(\sqrt{6} - \sqrt{2}\).
