Страница 109 номер 2.183, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Докажите формулу \[\sqrt{a-b\sqrt{c}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b^2c}}{2}}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b^2c}}{2}},\] где \(b>0\).
Примените эту формулу для упрощения выражения \(\sqrt{57-12\sqrt{15}}\).
Будем считать подкоренные выражения неотрицательными (иначе формула не имеет смысла): \(c \geqslant 0\), \(a^2 - b^2c \geqslant 0\) и \(a - \sqrt{a^2 - b^2c} \geqslant 0\); тогда и \(a + \sqrt{a^2 - b^2c} \geqslant 0\).
Так как \(\sqrt{a^2 - b^2c} \geqslant 0\), подкоренное выражение уменьшаемого в правой части не меньше подкоренного выражения вычитаемого: \[\frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c}}{2} \geqslant \frac{a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}.\]
Поэтому уменьшаемое не меньше вычитаемого, и правая часть формулы неотрицательна.
Сумма квадратов уменьшаемого и вычитаемого: \[\frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c}}{2} + \frac{a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2} = \frac{2a}{2} = a.\]
Их произведение (\(\sqrt{b^2c} = b\sqrt{c}\) при \(b > 0\)): \[\begin{aligned} &\sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} \cdot \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} = {} \\ &= \sqrt{\frac{a^2 - (a^2 - b^2c)}{4}} = \sqrt{\frac{b^2c}{4}} = \frac{b\sqrt{c}}{2}. \end{aligned}\]
Квадрат правой части равен \(a - 2 \cdot \frac{b\sqrt{c}}{2} = a - b\sqrt{c}\).
Правая часть неотрицательна, а её квадрат равен \(a - b\sqrt{c}\); значит, по определению арифметического квадратного корня она равна \(\sqrt{a - b\sqrt{c}}\), что и требовалось доказать.
Для выражения \(\sqrt{57 - 12\sqrt{15}}\): \(a = 57\), \(b = 12\), \(c = 15\), причём \(b > 0\) и \(a^2 - b^2c = 57^2 - 12^2 \cdot 15 = 3249 - 2160 = 1089 = 33^2\). Тогда \[\sqrt{57 - 12\sqrt{15}} = \sqrt{\frac{57 + 33}{2}} - \sqrt{\frac{57 - 33}{2}} = \sqrt{45} - \sqrt{12} = 3\sqrt{5} - 2\sqrt{3}.\]
\(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\);
\(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\).
Ответ: формула доказана; \(\sqrt{57 - 12\sqrt{15}} = 3\sqrt{5} - 2\sqrt{3}\).
Докажите формулу \[\sqrt{a-b\sqrt{c}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b^2c}}{2}}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b^2c}}{2}},\] где \(b>0\).
Примените эту формулу для упрощения выражения \(\sqrt{57-12\sqrt{15}}\).
Будем считать, что все подкоренные выражения в формуле неотрицательны (иначе формула не имеет смысла): \(c \geqslant 0\), \(a^2 - b^2c \geqslant 0\) и \(a - \sqrt{a^2 - b^2c} \geqslant 0\); тогда и \(a + \sqrt{a^2 - b^2c} \geqslant 0\).
Так как \(\sqrt{a^2 - b^2c} \geqslant 0\), подкоренное выражение уменьшаемого в правой части не меньше подкоренного выражения вычитаемого: \[\frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c}}{2} \geqslant \frac{a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}.\]
Из двух арифметических квадратных корней больше тот, у которого больше подкоренное выражение, а при равных подкоренных выражениях корни равны. Поэтому уменьшаемое не меньше вычитаемого, и правая часть формулы неотрицательна.
Найдём квадрат правой части. Квадраты уменьшаемого и вычитаемого равны их подкоренным выражениям, поэтому сумма этих квадратов равна \[\frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c}}{2} + \frac{a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2} = \frac{2a}{2} = a.\]
Произведение уменьшаемого и вычитаемого найдём по правилу умножения корней; в числителе получается произведение суммы и разности двух выражений, а \(\sqrt{b^2c} = b\sqrt{c}\) при \(b > 0\): \[\begin{aligned} &\sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} \cdot \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} = {} \\ &= \sqrt{\frac{a^2 - (a^2 - b^2c)}{4}} = \sqrt{\frac{b^2c}{4}} = \frac{b\sqrt{c}}{2}. \end{aligned}\]
Квадрат разности равен сумме квадратов уменьшаемого и вычитаемого минус их удвоенное произведение, поэтому квадрат правой части равен \(a - 2 \cdot \frac{b\sqrt{c}}{2} = a - b\sqrt{c}\).
Правая часть неотрицательна, а её квадрат равен \(a - b\sqrt{c}\); значит, по определению арифметического квадратного корня она равна \(\sqrt{a - b\sqrt{c}}\), что и требовалось доказать.
Применим формулу к выражению \(\sqrt{57 - 12\sqrt{15}}\): здесь \(a = 57\), \(b = 12\), \(c = 15\), причём \(b > 0\) и \(a^2 - b^2c = 57^2 - 12^2 \cdot 15 = 3249 - 2160 = 1089 = 33^2\). Тогда \[\sqrt{57 - 12\sqrt{15}} = \sqrt{\frac{57 + 33}{2}} - \sqrt{\frac{57 - 33}{2}} = \sqrt{45} - \sqrt{12} = 3\sqrt{5} - 2\sqrt{3}.\]
Множители вынесены из-под знака корня: \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\), \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\).
Ответ: формула доказана; \(\sqrt{57 - 12\sqrt{15}} = 3\sqrt{5} - 2\sqrt{3}\).
