Страница 105 номер 2.169, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
ДЕЙСТВУЕМ ПО ПЛАНУ. Постройте график зависимости \(y=\sqrt[3]{x}\). Для этого:
1) составьте таблицу значений \(\sqrt[3]{x}\) для \(x=0\); 0,5; 1; 2; ...; 8 (приближённые значения \(\sqrt[3]{x}\) берите с одним знаком после запятой);
2) составьте таблицу для противоположных (отрицательных) значений \(x\);
3) отметьте в координатной плоскости точки с координатами \((x;\ \sqrt[3]{x})\) и соедините их плавной линией;
4) опишите свойства графика зависимости \(y=\sqrt[3]{x}\) (в качестве образца используйте описание свойств графика зависимости \(y=\sqrt{x}\) на с. 86).
1) \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 0{,}5 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline \sqrt[3]{x} & 0 & 0{,}8 & 1 & 1{,}3 & 1{,}4 & 1{,}6 & 1{,}7 & 1{,}8 & 1{,}9 & 2 \\ \hline \end{array}\]
2) Числа \(\sqrt[3]{-x}\) и \(\sqrt[3]{x}\) противоположны: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -0{,}5 & -1 & -2 & -3 & -4 & -5 & -6 & -7 & -8 \\ \hline \sqrt[3]{x} & -0{,}8 & -1 & -1{,}3 & -1{,}4 & -1{,}6 & -1{,}7 & -1{,}8 & -1{,}9 & -2 \\ \hline \end{array}\]
3) График по точкам обеих таблиц:
4) Свойства графика:
1. График расположен в первой и третьей координатных четвертях, причём начало координат принадлежит графику: при \(x > 0\) значение \(\sqrt[3]{x}\) положительно, при \(x < 0\) — отрицательно, а \(\sqrt[3]{0} = 0\).
2. Ось \(y\) — касательная к графику в точке \(O(0; 0)\): вблизи начала координат график идёт почти вертикально. Например, \(\sqrt[3]{0{,}001} = 0{,}1\), то есть точка графика \((0{,}001; 0{,}1)\) в 100 раз дальше от оси \(x\), чем от оси \(y\).
3. При движении по оси \(x\) слева направо график поднимается, причём чем дальше от начала координат, тем медленнее этот «подъём», но он неограничен: график пересекает любую горизонтальную прямую — и выше оси \(x\), и ниже её, — причём только в одной точке.
4. График симметричен относительно начала координат: числа \(\sqrt[3]{-x}\) и \(\sqrt[3]{x}\) противоположны, поэтому вместе с точкой \((x; \sqrt[3]{x})\) графику принадлежит и точка \((-x; -\sqrt[3]{x})\).
Ответ: график зависимости \(y = \sqrt[3]{x}\) расположен в первой и третьей координатных четвертях и проходит через начало координат; ось \(y\) — касательная к графику в точке \(O(0; 0)\); при движении по оси \(x\) слева направо график поднимается, причём чем дальше от начала координат, тем медленнее этот «подъём», но он неограничен; график симметричен относительно начала координат.
ДЕЙСТВУЕМ ПО ПЛАНУ. Постройте график зависимости \(y=\sqrt[3]{x}\). Для этого:
1) составьте таблицу значений \(\sqrt[3]{x}\) для \(x=0\); 0,5; 1; 2; ...; 8 (приближённые значения \(\sqrt[3]{x}\) берите с одним знаком после запятой);
2) составьте таблицу для противоположных (отрицательных) значений \(x\);
3) отметьте в координатной плоскости точки с координатами \((x;\ \sqrt[3]{x})\) и соедините их плавной линией;
4) опишите свойства графика зависимости \(y=\sqrt[3]{x}\) (в качестве образца используйте описание свойств графика зависимости \(y=\sqrt{x}\) на с. 86).
1) Значения \(\sqrt[3]{x}\) находим с помощью калькулятора и округляем до десятых: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 0{,}5 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline \sqrt[3]{x} & 0 & 0{,}8 & 1 & 1{,}3 & 1{,}4 & 1{,}6 & 1{,}7 & 1{,}8 & 1{,}9 & 2 \\ \hline \end{array}\]
2) Числа \(\sqrt[3]{-x}\) и \(\sqrt[3]{x}\) противоположны, поэтому при противоположных значениях \(x\) значения корня — противоположные числа: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -0{,}5 & -1 & -2 & -3 & -4 & -5 & -6 & -7 & -8 \\ \hline \sqrt[3]{x} & -0{,}8 & -1 & -1{,}3 & -1{,}4 & -1{,}6 & -1{,}7 & -1{,}8 & -1{,}9 & -2 \\ \hline \end{array}\]
3) Отметим в координатной плоскости точки из обеих таблиц и соединим их плавной линией — получим график зависимости \(y = \sqrt[3]{x}\):
4) Свойства графика зависимости \(y = \sqrt[3]{x}\):
1. График расположен в первой и третьей координатных четвертях, причём начало координат принадлежит графику: при \(x > 0\) значение \(\sqrt[3]{x}\) положительно, при \(x < 0\) — отрицательно, а \(\sqrt[3]{0} = 0\).
2. Ось \(y\) является касательной к графику в точке \(O(0; 0)\): вблизи начала координат график идёт почти вертикально. Например, \(\sqrt[3]{0{,}001} = 0{,}1\), то есть точка графика \((0{,}001; 0{,}1)\) в 100 раз дальше от оси \(x\), чем от оси \(y\).
3. При движении по оси \(x\) слева направо график поднимается вверх, причём чем дальше от начала координат, тем медленнее этот «подъём», но он неограничен: график пересекает любую горизонтальную прямую — и выше оси \(x\), и ниже её, — причём только в одной точке.
4. График симметричен относительно начала координат: числа \(\sqrt[3]{-x}\) и \(\sqrt[3]{x}\) противоположны, поэтому вместе с точкой \((x; \sqrt[3]{x})\) графику принадлежит и симметричная ей относительно начала координат точка \((-x; -\sqrt[3]{x})\).
Ответ: график зависимости \(y = \sqrt[3]{x}\) расположен в первой и третьей координатных четвертях и проходит через начало координат; ось \(y\) — касательная к графику в точке \(O(0; 0)\); при движении по оси \(x\) слева направо график поднимается, причём чем дальше от начала координат, тем медленнее этот «подъём», но он неограничен; график симметричен относительно начала координат.
