Это надо уметь на страницах 110-112, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева

а) \(\sqrt{81} = 9\), так как \(9^2 = 81\).

б) \(\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}\), так как \(\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}\).

в) \(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\), так как \(0{,}8^2 = 0{,}64\).

Ответ: а) 9; б) \(\frac{3}{4}\); в) \(0{,}8\).

а)  \[\sqrt{\frac{126 - 54}{2}} = \sqrt{\frac{72}{2}} = \sqrt{36} = 6.\]

б)  \[\frac{\sqrt{27 + 22}}{5} = \frac{\sqrt{49}}{5} = \frac{7}{5} = 1{,}4.\]

в)  \[\frac{\sqrt{0{,}25} + \sqrt{0{,}01}}{3} = \frac{0{,}5 + 0{,}1}{3} = \frac{0{,}6}{3} = 0{,}2.\]

Ответ: а) 6; б) \(1{,}4\); в) \(0{,}2\).

Умножим обе части формулы на 2: \[\begin{aligned} S &= \frac{b^2}{2}; \qquad | \cdot 2 \\ b^2 &= 2S. \end{aligned}\]

Диагональ \(b\) — положительное число, квадрат которого равен \(2S\), поэтому по определению арифметического квадратного корня \[b = \sqrt{2S}.\]

Ответ: \(b = \sqrt{2S}\).

Если числа \(a\) и \(b\) положительные и \(a^2 < b^2\), то \(a < b\). Квадраты данных чисел равны 18, 89 и 160; сравним их с квадратами соседних целых чисел.

Так как \(4^2 = 16 < 18 < 25 = 5^2\), то \(4 < \sqrt{18} < 5\).

Так как \(9^2 = 81 < 89 < 100 = 10^2\), то \(9 < \sqrt{89} < 10\).

Так как \(12^2 = 144 < 160 < 169 = 13^2\), то \(12 < \sqrt{160} < 13\).

Ответ: \(\sqrt{18}\) — между 4 и 5; \(\sqrt{89}\) — между 9 и 10; \(\sqrt{160}\) — между 12 и 13.

Из двух положительных чисел больше то, квадрат которого больше.

а) \((\sqrt{26})^2 = 26\), \((\sqrt{62})^2 = 62\) и \(26 < 62\), поэтому \(\sqrt{26} < \sqrt{62}\).

б) \((\sqrt{234})^2 = 234\), \(16^2 = 256\) и \(234 < 256\), поэтому \(\sqrt{234} < 16\).

в) \((\sqrt{5})^2 = 5\), \((\sqrt{6})^2 = 6\) и \(5 < 6\), поэтому \(\sqrt{5} < \sqrt{6}\). Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше; модули чисел \(-\sqrt{5}\) и \(-\sqrt{6}\) равны \(\sqrt{5}\) и \(\sqrt{6}\), поэтому \(-\sqrt{5} > -\sqrt{6}\).

Ответ: а) \(\sqrt{26} < \sqrt{62}\); б) \(\sqrt{234} < 16\); в) \(-\sqrt{5} > -\sqrt{6}\).

Найдём приближённые значения чисел \(\sqrt{2}\) и \(\sqrt{52}\) с точностью до десятых.

Так как \(1^2 < 2 < 2^2\), то \(1 < \sqrt{2} < 2\); так как \(1{,}4^2 = 1{,}96 < 2 < 2{,}25 = 1{,}5^2\), то \(1{,}4 < \sqrt{2} < 1{,}5\), и \(\sqrt{2} \approx 1{,}4\).

Так как \(7^2 = 49 < 52 < 64 = 8^2\), то \(7 < \sqrt{52} < 8\). Возведём в квадрат числа \(7{,}1\); \(7{,}2\); \(7{,}3\): \(7{,}1^2 = 50{,}41\);
\(7{,}2^2 = 51{,}84\);
\(7{,}3^2 = 53{,}29\). Так как \(7{,}2^2 < 52 < 7{,}3^2\), то \(7{,}2 < \sqrt{52} < 7{,}3\), и \(\sqrt{52} \approx 7{,}2\).

Числа \(-\sqrt{2}\) и \(-\sqrt{52}\) противоположны числам \(\sqrt{2}\) и \(\sqrt{52}\), поэтому их точки расположены симметрично точкам \(\sqrt{2}\) и \(\sqrt{52}\) относительно начала отсчёта: \(-\sqrt{2} \approx -1{,}4\), \(-\sqrt{52} \approx -7{,}2\). Отметим все четыре точки на координатной прямой.

Ответ: \(\sqrt{2} \approx 1{,}4\); \(-\sqrt{2} \approx -1{,}4\); \(\sqrt{52} \approx 7{,}2\); \(-\sqrt{52} \approx -7{,}2\).

Калькулятор даёт \(\sqrt{32} \approx 5{,}6568542\). Значит, число \(\sqrt{32}\) заключено между десятичными дробями \(5{,}65\) и \(5{,}66\): \[5{,}65 < \sqrt{32} < 5{,}66.\]

Проверка: \(5{,}65^2 = 31{,}9225 < 32\) и \(5{,}66^2 = 32{,}0356 > 32\).

Ответ: \(5{,}65\) и \(5{,}66\): \(5{,}65 < \sqrt{32} < 5{,}66\).

Дано:
\(O\) — перекрёсток взаимно перпендикулярных улиц
\(OA = 2\) км
\(OB = 1{,}5\) км

Найти: \(AB\) — расстояние между домами.

Решение:

Улицы взаимно перпендикулярны, поэтому треугольник \(AOB\) прямоугольный с прямым углом при вершине \(O\): отрезки \(OA\) и \(OB\) — его катеты, \(AB\) — гипотенуза.

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, поэтому \[AB = \sqrt{2^2 + 1{,}5^2} = \sqrt{4 + 2{,}25} = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5.\]

Расстояние между домами \(A\) и \(B\) равно \(2{,}5\) км.

Ответ: \(2{,}5\) км.

а) Из положительного числа \(a\) квадратных корней два — противоположные числа \(\sqrt{a}\) и \(-\sqrt{a}\).

Квадратные корни из 64 — числа 8 и \(-8\), так как \(8^2 = 64\) и \((-8)^2 = 64\).

Квадратные корни из \(\frac{4}{9}\) — числа \(\frac{2}{3}\) и \(-\frac{2}{3}\), так как \(\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}\) и \(\left(-\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}\).

Квадратные корни из \(0{,}49\) — числа \(0{,}7\) и \(-0{,}7\), так как \(0{,}7^2 = 0{,}49\) и \((-0{,}7)^2 = 0{,}49\).

Квадратные корни из 3 — числа \(\sqrt{3}\) и \(-\sqrt{3}\), из \(2{,}7\) — числа \(\sqrt{2{,}7}\) и \(-\sqrt{2{,}7}\).

б) Арифметический квадратный корень из числа — его неотрицательный квадратный корень: \[\begin{aligned} \sqrt{100} &= 10; \\ \sqrt{\frac{1}{4}} &= \frac{1}{2}; \\ \sqrt{0{,}09} &= 0{,}3. \end{aligned}\]

Арифметический квадратный корень из 5 — число \(\sqrt{5}\).

Ответ: а) 8 и \(-8\); \(\frac{2}{3}\) и \(-\frac{2}{3}\); \(0{,}7\) и \(-0{,}7\); \(\sqrt{3}\) и \(-\sqrt{3}\); \(\sqrt{2{,}7}\) и \(-\sqrt{2{,}7}\); б) 10; \(\frac{1}{2}\); \(0{,}3\); \(\sqrt{5}\).

Если \(a > 0\), то уравнение \(x^2 = a\) имеет два корня: \(\sqrt{a}\) и \(-\sqrt{a}\); если \(a = 0\) — один корень 0; если \(a < 0\), то корней нет.

а) \(x = \sqrt{64} = 8\) или \(x = -\sqrt{64} = -8\).

б) \(x^2 = 144\);
\(x = \sqrt{144} = 12\) или \(x = -\sqrt{144} = -12\).

в) \(x^2 = -25\); квадрат числа не может быть отрицательным, поэтому уравнение корней не имеет.

г) \(x^2 = 5\);
\(x = \sqrt{5}\) или \(x = -\sqrt{5}\).

д) Квадрат числа \(x - 1\) равен 9, значит, \(x - 1\) — квадратный корень из 9: \(x - 1 = 3\) или \(x - 1 = -3\);
\(x = 4\) или \(x = -2\).

е) Квадрат равен нулю только у числа 0, поэтому \(x + 5 = 0\);
\(x = -5\).

Ответ: а) 8; \(-8\); б) 12; \(-12\); в) корней нет; г) \(\sqrt{5}\); \(-\sqrt{5}\); д) 4; \(-2\); е) \(-5\).

а)  \[\sqrt{0{,}25 \cdot 0{,}36} = \sqrt{0{,}25} \cdot \sqrt{0{,}36} = 0{,}5 \cdot 0{,}6 = 0{,}3.\]

б)  \[\sqrt{\frac{256}{81}} = \frac{\sqrt{256}}{\sqrt{81}} = \frac{16}{9}.\]

в) Так как \(5^4 = (5^2)^2\) и \(2^6 = (2^3)^2\), то \[\begin{aligned} &\sqrt{3^2 \cdot 5^4 \cdot 2^6} = \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{(5^2)^2} \cdot \sqrt{(2^3)^2} = {} \\ &= 3 \cdot 5^2 \cdot 2^3 = 3 \cdot 25 \cdot 8 = 600. \end{aligned}\]

Ответ: а) \(0{,}3\); б) \(\frac{16}{9}\); в) 600.

а)  \[5\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 10 \cdot (\sqrt{3})^2 = 10 \cdot 3 = 30.\]

б)  \[3\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{20} = 12\sqrt{5 \cdot 20} = 12\sqrt{100} = 12 \cdot 10 = 120.\]

в)  \[\frac{(2\sqrt{5})^2}{10} = \frac{2^2 \cdot (\sqrt{5})^2}{10} = \frac{4 \cdot 5}{10} = 2.\]

г)  \[\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{50}} = \sqrt{\frac{8}{50}} = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5}.\]

д)  \[\begin{aligned} &\frac{2\sqrt{10} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{80}} = \frac{2\sqrt{20}}{\sqrt{80}} = 2\sqrt{\frac{20}{80}} = {} \\ &= 2\sqrt{\frac{1}{4}} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1. \end{aligned}\]

Ответ: а) 30; б) 120; в) 2; г) \(\frac{2}{5}\); д) 1.

Подкоренное число 32 представим в виде произведения, один из множителей которого — квадрат натурального числа: \(32 = 16 \cdot 2 = 4^2 \cdot 2\). Тогда \[0{,}5\sqrt{32} = 0{,}5\sqrt{4^2 \cdot 2} = 0{,}5 \cdot 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}.\]

Ответ: \(2\sqrt{2}\).

Под знак корня вносится только положительный множитель; у выражения \(-2\sqrt{3}\) минус остаётся перед корнем: \[\begin{aligned} 4\sqrt{2} &= \sqrt{4^2} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{32}; \\ -2\sqrt{3} &= -\sqrt{2^2} \cdot \sqrt{3} = -\sqrt{4 \cdot 3} = -\sqrt{12}. \end{aligned}\]

Ответ: \(4\sqrt{2} = \sqrt{32}\); \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\).

Внесём множители под знак корня: \[\begin{aligned} 5\sqrt{3} &= \sqrt{5^2 \cdot 3} = \sqrt{75}; \\ 3\sqrt{6} &= \sqrt{3^2 \cdot 6} = \sqrt{54}. \end{aligned}\]

Оба числа положительны, а \((\sqrt{75})^2 = 75\) больше, чем \((\sqrt{54})^2 = 54\); из двух положительных чисел больше то, квадрат которого больше, поэтому \(\sqrt{75} > \sqrt{54}\), то есть \(5\sqrt{3} > 3\sqrt{6}\).

Ответ: \(5\sqrt{3} > 3\sqrt{6}\).

а) Вынесем множители из-под знаков корней; получатся подобные радикалы, и, сложив коэффициенты \(6 - 9 + 4 = 1\), получим: \[\begin{aligned} &3\sqrt{20} - 3\sqrt{45} + 4\sqrt{5} = 3\sqrt{4 \cdot 5} - 3\sqrt{9 \cdot 5} + 4\sqrt{5} = {} \\ &= 6\sqrt{5} - 9\sqrt{5} + 4\sqrt{5} = \sqrt{5}. \end{aligned}\]

б) По формуле квадрата суммы: \[(1 + \sqrt{3})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 = 4 + 2\sqrt{3}.\]

в) По формуле разности квадратов: \[(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2) = (\sqrt{7})^2 - 2^2 = 7 - 4 = 3.\]

Ответ: а) \(\sqrt{5}\); б) \(4 + 2\sqrt{3}\); в) 3.

Умножим числитель и знаменатель дроби на \(\sqrt{3}\): \[\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}.\]

Ответ: \(2\sqrt{3}\).

Квадрат разности раскроем по формуле: \[\begin{aligned} &2(1 - \sqrt{2})^2 - 3 = 2(1 - 2\sqrt{2} + 2) - 3 = {} \\ &= 2(3 - 2\sqrt{2}) - 3 = 6 - 4\sqrt{2} - 3 = 3 - 4\sqrt{2}. \end{aligned}\]

Ответ: \(3 - 4\sqrt{2}\).

Так как \((\sqrt{3})^3 = (\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}\), то \[2 \cdot (2\sqrt{3})^3 = 2 \cdot 2^3 \cdot (\sqrt{3})^3 = 2 \cdot 8 \cdot 3\sqrt{3} = 48\sqrt{3}.\]

Ответ: \(48\sqrt{3}\).