Страница 100 номер 2.150, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Упростите:
а) \(\left(\sqrt{10-\sqrt{19}}+\sqrt{10+\sqrt{19}}\right)^2\);
б) \(\left(\sqrt{2\sqrt{5}+4}-\sqrt{2\sqrt{5}-4}\right)^2\).
а) \(10 - \sqrt{19} > 0\), так как \(\sqrt{19} < \sqrt{100} = 10\): \[\begin{aligned} &\left(\sqrt{10 - \sqrt{19}} + \sqrt{10 + \sqrt{19}}\right)^2 = {} \\ &= (10 - \sqrt{19}) + 2\sqrt{(10 - \sqrt{19})(10 + \sqrt{19})} + (10 + \sqrt{19}) = {} \\ &= 20 + 2\sqrt{100 - 19} = 20 + 2\sqrt{81} = 20 + 18 = 38. \end{aligned}\]
б) \(2\sqrt{5} - 4 > 0\), так как \(2\sqrt{5} = \sqrt{20} > \sqrt{16} = 4\): \[\begin{aligned} &\left(\sqrt{2\sqrt{5} + 4} - \sqrt{2\sqrt{5} - 4}\right)^2 = {} \\ &= (2\sqrt{5} + 4) - 2\sqrt{(2\sqrt{5} + 4)(2\sqrt{5} - 4)} + (2\sqrt{5} - 4) = {} \\ &= 4\sqrt{5} - 2\sqrt{20 - 16} = 4\sqrt{5} - 2\sqrt{4} = 4\sqrt{5} - 4. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(38\); б) \(4\sqrt{5} - 4\).
Упростите:
а) \(\left(\sqrt{10-\sqrt{19}}+\sqrt{10+\sqrt{19}}\right)^2\);
б) \(\left(\sqrt{2\sqrt{5}+4}-\sqrt{2\sqrt{5}-4}\right)^2\).
Возведём в квадрат по формулам \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) и \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\). Квадрат корня равен подкоренному выражению, а произведение корней из положительных чисел — корню из их произведения.
а) \(10 - \sqrt{19} > 0\), так как \(\sqrt{19} < \sqrt{100} = 10\): \[\begin{aligned} &\left(\sqrt{10 - \sqrt{19}} + \sqrt{10 + \sqrt{19}}\right)^2 = {} \\ &= (10 - \sqrt{19}) + 2\sqrt{(10 - \sqrt{19})(10 + \sqrt{19})} + (10 + \sqrt{19}) = {} \\ &= 20 + 2\sqrt{100 - 19} = 20 + 2\sqrt{81} = 20 + 18 = 38. \end{aligned}\]
б) \(2\sqrt{5} - 4 > 0\), так как \(2\sqrt{5} = \sqrt{20} > \sqrt{16} = 4\): \[\begin{aligned} &\left(\sqrt{2\sqrt{5} + 4} - \sqrt{2\sqrt{5} - 4}\right)^2 = {} \\ &= (2\sqrt{5} + 4) - 2\sqrt{(2\sqrt{5} + 4)(2\sqrt{5} - 4)} + (2\sqrt{5} - 4) = {} \\ &= 4\sqrt{5} - 2\sqrt{20 - 16} = 4\sqrt{5} - 2\sqrt{4} = 4\sqrt{5} - 4. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(38\); б) \(4\sqrt{5} - 4\).
