Страница 109 номер 2.182, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Формула, рассмотренная в предыдущем задании, представляет интерес, если выражение \(a^2-b^2c\) является квадратом натурального числа. Примените эту формулу для упрощения выражения:
а) \(\sqrt{12+2\sqrt{11}}\);
б) \(\sqrt{57+12\sqrt{15}}\).
а) Здесь \(a = 12\), \(b = 2\), \(c = 11\), причём \(b > 0\) и \(a^2 - b^2c = 12^2 - 2^2 \cdot 11 = 144 - 44 = 100 = 10^2\). По формуле \[\sqrt{12 + 2\sqrt{11}} = \sqrt{\frac{12 + 10}{2}} + \sqrt{\frac{12 - 10}{2}} = \sqrt{11} + \sqrt{1} = \sqrt{11} + 1.\]
б) Здесь \(a = 57\), \(b = 12\), \(c = 15\), причём \(b > 0\) и \(a^2 - b^2c = 57^2 - 12^2 \cdot 15 = 3249 - 2160 = 1089 = 33^2\). По формуле \[\sqrt{57 + 12\sqrt{15}} = \sqrt{\frac{57 + 33}{2}} + \sqrt{\frac{57 - 33}{2}} = \sqrt{45} + \sqrt{12} = 3\sqrt{5} + 2\sqrt{3}.\]
\(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\);
\(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\).
Ответ: а) \(\sqrt{11} + 1\); б) \(3\sqrt{5} + 2\sqrt{3}\).
Формула, рассмотренная в предыдущем задании, представляет интерес, если выражение \(a^2-b^2c\) является квадратом натурального числа. Примените эту формулу для упрощения выражения:
а) \(\sqrt{12+2\sqrt{11}}\);
б) \(\sqrt{57+12\sqrt{15}}\).
а) Для выражения \(\sqrt{12 + 2\sqrt{11}}\) имеем \(a = 12\), \(b = 2\), \(c = 11\), причём \(b > 0\) и \(a^2 - b^2c = 12^2 - 2^2 \cdot 11 = 144 - 44 = 100 = 10^2\). По формуле \[\sqrt{12 + 2\sqrt{11}} = \sqrt{\frac{12 + 10}{2}} + \sqrt{\frac{12 - 10}{2}} = \sqrt{11} + \sqrt{1} = \sqrt{11} + 1.\]
б) Для выражения \(\sqrt{57 + 12\sqrt{15}}\) имеем \(a = 57\), \(b = 12\), \(c = 15\), причём \(b > 0\) и \(a^2 - b^2c = 57^2 - 12^2 \cdot 15 = 3249 - 2160 = 1089 = 33^2\). По формуле \[\sqrt{57 + 12\sqrt{15}} = \sqrt{\frac{57 + 33}{2}} + \sqrt{\frac{57 - 33}{2}} = \sqrt{45} + \sqrt{12} = 3\sqrt{5} + 2\sqrt{3}.\]
Множители вынесены из-под знака корня: \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\), \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\).
Ответ: а) \(\sqrt{11} + 1\); б) \(3\sqrt{5} + 2\sqrt{3}\).
