Страница 100 номер 2.149, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
ДОКАЗЫВАЕМ. Докажите, что:
а) \(\sqrt{3}\cdot\sqrt{3+\sqrt{6}}\cdot\sqrt{3-\sqrt{6}}=3\);
б) \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\cdot\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}=2\);
в) \(\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}\cdot\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}=1\).
а) \(3 - \sqrt{6} > 0\), так как \(\sqrt{6} < \sqrt{9} = 3\): \[\begin{aligned} &\sqrt{3} \cdot \sqrt{3 + \sqrt{6}} \cdot \sqrt{3 - \sqrt{6}} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{(3 + \sqrt{6})(3 - \sqrt{6})} = {} \\ &= \sqrt{3} \cdot \sqrt{9 - 6} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3. \end{aligned}\]
б) \(\sqrt{2} < 2\), поэтому \(2 + \sqrt{2} < 4\) и \(\sqrt{2 + \sqrt{2}} < \sqrt{4} = 2\). Значит, числа \(2 - \sqrt{2}\) и \(2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}\) положительны: \[\begin{aligned} &\sqrt{2} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}} = {} \\ &= \sqrt{2} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2}} \cdot \sqrt{4 - (2 + \sqrt{2})} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}} = {} \\ &= \sqrt{2} \cdot \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2. \end{aligned}\]
в) \(\sqrt{3} < 2\), поэтому \(2 + \sqrt{3} < 4\) и \(\sqrt{2 + \sqrt{3}} < 2\); тогда \(2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}} < 4\) и \(\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} < 2\). Значит, числа \(2 - \sqrt{3}\), \(2 - \sqrt{2 + \sqrt{3}}\) и \(2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}\) положительны: \[\begin{aligned} &\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}} = {} \\ &= \sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \cdot \sqrt{4 - (2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}})} = {} \\ &= \sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{3}}} = {} \\ &= \sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{4 - (2 + \sqrt{3})} = \sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}} = {} \\ &= \sqrt{4 - 3} = 1. \end{aligned}\]
Ответ: равенства доказаны.
ДОКАЗЫВАЕМ. Докажите, что:
а) \(\sqrt{3}\cdot\sqrt{3+\sqrt{6}}\cdot\sqrt{3-\sqrt{6}}=3\);
б) \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\cdot\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}=2\);
в) \(\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}\cdot\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}=1\).
По правилу умножения корней \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}\) при \(a \geqslant 0\) и \(b \geqslant 0\); в каждом пункте подкоренные выражения положительны. Корни перемножаем, начиная с двух последних: под общим корнем каждый раз получается произведение суммы двух выражений и их разности, равное разности квадратов.
а) \(3 - \sqrt{6} > 0\), так как \(\sqrt{6} < \sqrt{9} = 3\): \[\begin{aligned} &\sqrt{3} \cdot \sqrt{3 + \sqrt{6}} \cdot \sqrt{3 - \sqrt{6}} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{(3 + \sqrt{6})(3 - \sqrt{6})} = {} \\ &= \sqrt{3} \cdot \sqrt{9 - 6} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3. \end{aligned}\]
б) \(\sqrt{2} < 2\), поэтому \(2 + \sqrt{2} < 4\) и \(\sqrt{2 + \sqrt{2}} < \sqrt{4} = 2\). Значит, числа \(2 - \sqrt{2}\) и \(2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}\) положительны: \[\begin{aligned} &\sqrt{2} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}} = {} \\ &= \sqrt{2} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2}} \cdot \sqrt{4 - (2 + \sqrt{2})} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}} = {} \\ &= \sqrt{2} \cdot \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2. \end{aligned}\]
в) \(\sqrt{3} < 2\), поэтому \(2 + \sqrt{3} < 4\) и \(\sqrt{2 + \sqrt{3}} < 2\); тогда \(2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}} < 4\) и \(\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} < 2\). Значит, числа \(2 - \sqrt{3}\), \(2 - \sqrt{2 + \sqrt{3}}\) и \(2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}\) положительны: \[\begin{aligned} &\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}} = {} \\ &= \sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \cdot \sqrt{4 - (2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}})} = {} \\ &= \sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{3}}} = {} \\ &= \sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{4 - (2 + \sqrt{3})} = \sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}} = {} \\ &= \sqrt{4 - 3} = 1. \end{aligned}\]
Ответ: равенства доказаны.
