Страница 99 номер 2.143, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Примените равенство \(\sqrt{x^2}=|x|\) для преобразования выражений (2.142—2.143).
Упростите выражение (буквами обозначены положительные числа):
а) \(\sqrt{49a^2}\);
б) \(\sqrt{3n^2}\);
в) \(\sqrt{8x^2}\);
г) \(\sqrt{\frac{m^2}{4}}\);
д) \(\sqrt{\frac{y^2}{2}}\);
е) \(\sqrt{12a^3}\).
Буквами обозначены положительные числа, а модуль положительного числа равен самому числу.
а) \[\sqrt{49a^2} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{a^2} = 7|a| = 7a.\]
б) \[\sqrt{3n^2} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{n^2} = \sqrt{3} \cdot |n| = n\sqrt{3}.\]
в) \[\sqrt{8x^2} = \sqrt{4 \cdot x^2 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{2} = 2|x|\sqrt{2} = 2x\sqrt{2}.\]
г) \[\sqrt{\frac{m^2}{4}} = \frac{\sqrt{m^2}}{\sqrt{4}} = \frac{|m|}{2} = \frac{m}{2}.\]
д) \[\sqrt{\frac{y^2}{2}} = \frac{\sqrt{y^2}}{\sqrt{2}} = \frac{|y|}{\sqrt{2}} = \frac{y\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2} = \frac{y\sqrt{2}}{2}.\]
е) \[\begin{aligned} &\sqrt{12a^3} = \sqrt{4 \cdot a^2 \cdot 3a} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{3a} = {} \\ &= 2|a|\sqrt{3a} = 2a\sqrt{3a}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(7a\); б) \(n\sqrt{3}\); в) \(2x\sqrt{2}\); г) \(\frac{m}{2}\); д) \(\frac{y\sqrt{2}}{2}\); е) \(2a\sqrt{3a}\).
Примените равенство \(\sqrt{x^2}=|x|\) для преобразования выражений (2.142—2.143).
Упростите выражение (буквами обозначены положительные числа):
а) \(\sqrt{49a^2}\);
б) \(\sqrt{3n^2}\);
в) \(\sqrt{8x^2}\);
г) \(\sqrt{\frac{m^2}{4}}\);
д) \(\sqrt{\frac{y^2}{2}}\);
е) \(\sqrt{12a^3}\).
Применим равенство \(\sqrt{x^2} = |x|\) и свойства корня из произведения и из частного. Буквами обозначены положительные числа, а модуль положительного числа равен самому числу.
а) \[\sqrt{49a^2} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{a^2} = 7|a| = 7a.\]
б) \[\sqrt{3n^2} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{n^2} = \sqrt{3} \cdot |n| = n\sqrt{3}.\]
в) \[\sqrt{8x^2} = \sqrt{4 \cdot x^2 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{2} = 2|x|\sqrt{2} = 2x\sqrt{2}.\]
г) \[\sqrt{\frac{m^2}{4}} = \frac{\sqrt{m^2}}{\sqrt{4}} = \frac{|m|}{2} = \frac{m}{2}.\]
д) Освободимся от иррациональности в знаменателе: умножим числитель и знаменатель дроби на \(\sqrt{2}\). \[\sqrt{\frac{y^2}{2}} = \frac{\sqrt{y^2}}{\sqrt{2}} = \frac{|y|}{\sqrt{2}} = \frac{y\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2} = \frac{y\sqrt{2}}{2}.\]
е) \[\begin{aligned} &\sqrt{12a^3} = \sqrt{4 \cdot a^2 \cdot 3a} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{3a} = {} \\ &= 2|a|\sqrt{3a} = 2a\sqrt{3a}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(7a\); б) \(n\sqrt{3}\); в) \(2x\sqrt{2}\); г) \(\frac{m}{2}\); д) \(\frac{y\sqrt{2}}{2}\); е) \(2a\sqrt{3a}\).
