Страница 107 номер 2.177, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
ИССЛЕДУЕМ.
1) Заполните таблицу:
[таблица из трёх строк: в первой строке заголовок \(x\) и значения 0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1; 2; 3; во второй строке заголовок \(\sqrt{x}\) и восемь пустых клеток; в третьей строке заголовок \(\sqrt[3]{x}\) и восемь пустых клеток]
2) Постройте в одной и той же системе координат на промежутке \([0;\ 3]\) графики зависимостей \(y=\sqrt{x}\) и \(y=\sqrt[3]{x}\) (за единичный отрезок примите 10 клеток).
3) Сравните \(\sqrt{x}\) и \(\sqrt[3]{x}\) при \(x=0\);
\(x=1\);
\(x>1\);
\(0<x<1\).
4) Выпишите в порядке возрастания числа: \[\sqrt{7{,}4};\ \sqrt{10};\ \sqrt{0{,}96};\ \sqrt{0{,}51};\ \sqrt[3]{7{,}4};\ \sqrt[3]{5{,}1};\ \sqrt[3]{0{,}96};\ 1.\]
1) Значения корней округляем до сотых: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 0{,}2 & 0{,}4 & 0{,}6 & 0{,}8 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \sqrt{x} & 0 & 0{,}45 & 0{,}63 & 0{,}77 & 0{,}89 & 1 & 1{,}41 & 1{,}73 \\ \hline \sqrt[3]{x} & 0 & 0{,}58 & 0{,}74 & 0{,}84 & 0{,}93 & 1 & 1{,}26 & 1{,}44 \\ \hline \end{array}\]
2) Графики по точкам таблицы на промежутке \([0; 3]\), единичный отрезок — 10 клеток:
3) При \(x = 0\) и при \(x = 1\) значения равны: \(\sqrt{0} = \sqrt[3]{0} = 0\), \(\sqrt{1} = \sqrt[3]{1} = 1\) — в этих точках графики пересекаются. По таблице и графикам при \(0 < x < 1\) график зависимости \(y = \sqrt{x}\) лежит ниже графика зависимости \(y = \sqrt[3]{x}\), а при \(x > 1\) — выше. Докажем это.
Пусть \(x > 0\) и \(c = \sqrt[3]{x}\). Тогда \(c > 0\), \(x = c^3\) и \[\sqrt{x} = \sqrt{c^3} = \sqrt{c^2 \cdot c} = c\sqrt{c}.\]
Если \(x > 1\), то \(1^3 < c^3\), поэтому \(c > 1\); тогда \(1^2 < (\sqrt{c})^2\), поэтому \(\sqrt{c} > 1\) и \(\sqrt{x} = c\sqrt{c} > c = \sqrt[3]{x}\).
Если \(0 < x < 1\), то \(c^3 < 1^3\), поэтому \(0 < c < 1\); тогда \((\sqrt{c})^2 < 1^2\), поэтому \(\sqrt{c} < 1\) и \(\sqrt{x} = c\sqrt{c} < c = \sqrt[3]{x}\).
4) Корень из положительного числа, меньшего 1, меньше \(\sqrt{1} = \sqrt[3]{1} = 1\), а корень из числа, большего 1, больше 1, поэтому числа \(\sqrt{0{,}51}\), \(\sqrt{0{,}96}\) и \(\sqrt[3]{0{,}96}\) меньше 1, а числа \(\sqrt[3]{5{,}1}\), \(\sqrt[3]{7{,}4}\), \(\sqrt{7{,}4}\) и \(\sqrt{10}\) больше 1.
Сравнивая подкоренные числа, получаем \(\sqrt{0{,}51} < \sqrt{0{,}96}\), \(\sqrt[3]{5{,}1} < \sqrt[3]{7{,}4}\) и \(\sqrt{7{,}4} < \sqrt{10}\); кроме того, \(\sqrt{0{,}96} < \sqrt[3]{0{,}96}\), так как \(0 < 0{,}96 < 1\), и \(\sqrt[3]{7{,}4} < \sqrt{7{,}4}\), так как \(7{,}4 > 1\). Значит, \[\begin{aligned} &\sqrt{0{,}51} < \sqrt{0{,}96} < \sqrt[3]{0{,}96} < 1 < {} \\ &< \sqrt[3]{5{,}1} < \sqrt[3]{7{,}4} < \sqrt{7{,}4} < \sqrt{10}. \end{aligned}\]
Ответ: 3) при \(x = 0\) и при \(x = 1\) значения равны: \(\sqrt{x} = \sqrt[3]{x}\); при \(x > 1\) верно \(\sqrt{x} > \sqrt[3]{x}\); при \(0 < x < 1\) верно \(\sqrt{x} < \sqrt[3]{x}\); 4) \(\sqrt{0{,}51} < \sqrt{0{,}96} < \sqrt[3]{0{,}96} < 1 < \sqrt[3]{5{,}1} < \sqrt[3]{7{,}4} < \sqrt{7{,}4} < \sqrt{10}\).
ИССЛЕДУЕМ.
1) Заполните таблицу:
[таблица из трёх строк: в первой строке заголовок \(x\) и значения 0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1; 2; 3; во второй строке заголовок \(\sqrt{x}\) и восемь пустых клеток; в третьей строке заголовок \(\sqrt[3]{x}\) и восемь пустых клеток]
2) Постройте в одной и той же системе координат на промежутке \([0;\ 3]\) графики зависимостей \(y=\sqrt{x}\) и \(y=\sqrt[3]{x}\) (за единичный отрезок примите 10 клеток).
3) Сравните \(\sqrt{x}\) и \(\sqrt[3]{x}\) при \(x=0\);
\(x=1\);
\(x>1\);
\(0<x<1\).
4) Выпишите в порядке возрастания числа: \[\sqrt{7{,}4};\ \sqrt{10};\ \sqrt{0{,}96};\ \sqrt{0{,}51};\ \sqrt[3]{7{,}4};\ \sqrt[3]{5{,}1};\ \sqrt[3]{0{,}96};\ 1.\]
1) Значения корней находим с помощью калькулятора и округляем до сотых: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 0{,}2 & 0{,}4 & 0{,}6 & 0{,}8 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \sqrt{x} & 0 & 0{,}45 & 0{,}63 & 0{,}77 & 0{,}89 & 1 & 1{,}41 & 1{,}73 \\ \hline \sqrt[3]{x} & 0 & 0{,}58 & 0{,}74 & 0{,}84 & 0{,}93 & 1 & 1{,}26 & 1{,}44 \\ \hline \end{array}\]
2) Построим графики по точкам таблицы на промежутке \([0; 3]\), приняв за единичный отрезок 10 клеток:
3) При \(x = 0\) и при \(x = 1\) значения равны: \(\sqrt{0} = \sqrt[3]{0} = 0\), \(\sqrt{1} = \sqrt[3]{1} = 1\) — в этих точках графики пересекаются. По таблице и графикам при \(0 < x < 1\) график зависимости \(y = \sqrt{x}\) лежит ниже графика зависимости \(y = \sqrt[3]{x}\), а при \(x > 1\) — выше. Докажем это.
Пусть \(x > 0\) и \(c = \sqrt[3]{x}\). Тогда \(c > 0\), \(x = c^3\) и \[\sqrt{x} = \sqrt{c^3} = \sqrt{c^2 \cdot c} = c\sqrt{c}.\]
Для положительных чисел \(p\) и \(q\) из неравенства \(p^2 < q^2\) следует \(p < q\), и так же из неравенства \(p^3 < q^3\) следует \(p < q\).
Если \(x > 1\), то \(1^3 < c^3\), поэтому \(c > 1\); тогда \(1^2 < (\sqrt{c})^2\), поэтому \(\sqrt{c} > 1\). Произведение положительного числа \(c\) на число, большее 1, больше \(c\), значит, \(\sqrt{x} = c\sqrt{c} > c = \sqrt[3]{x}\).
Если \(0 < x < 1\), то \(c^3 < 1^3\), поэтому \(0 < c < 1\); тогда \((\sqrt{c})^2 < 1^2\), поэтому \(\sqrt{c} < 1\). Произведение положительного числа \(c\) на положительное число, меньшее 1, меньше \(c\), значит, \(\sqrt{x} = c\sqrt{c} < c = \sqrt[3]{x}\).
4) Так как для положительных чисел из неравенства \(p^2 < q^2\) следует \(p < q\), из двух квадратных корней из положительных чисел больше тот, у которого больше подкоренное число; так как из \(p^3 < q^3\) следует \(p < q\), то же верно и для кубических корней. В частности, корень из положительного числа, меньшего 1, меньше \(\sqrt{1} = \sqrt[3]{1} = 1\), а корень из числа, большего 1, больше 1. Поэтому числа \(\sqrt{0{,}51}\), \(\sqrt{0{,}96}\) и \(\sqrt[3]{0{,}96}\) меньше 1, а числа \(\sqrt[3]{5{,}1}\), \(\sqrt[3]{7{,}4}\), \(\sqrt{7{,}4}\) и \(\sqrt{10}\) больше 1.
Сравнивая подкоренные числа, получаем \(\sqrt{0{,}51} < \sqrt{0{,}96}\), \(\sqrt[3]{5{,}1} < \sqrt[3]{7{,}4}\) и \(\sqrt{7{,}4} < \sqrt{10}\). По доказанному в 3) \(\sqrt{0{,}96} < \sqrt[3]{0{,}96}\), так как \(0 < 0{,}96 < 1\), и \(\sqrt[3]{7{,}4} < \sqrt{7{,}4}\), так как \(7{,}4 > 1\). Значит, \[\begin{aligned} &\sqrt{0{,}51} < \sqrt{0{,}96} < \sqrt[3]{0{,}96} < 1 < {} \\ &< \sqrt[3]{5{,}1} < \sqrt[3]{7{,}4} < \sqrt{7{,}4} < \sqrt{10}. \end{aligned}\]
Ответ: 3) при \(x = 0\) и при \(x = 1\) значения равны: \(\sqrt{x} = \sqrt[3]{x}\); при \(x > 1\) верно \(\sqrt{x} > \sqrt[3]{x}\); при \(0 < x < 1\) верно \(\sqrt{x} < \sqrt[3]{x}\); 4) \(\sqrt{0{,}51} < \sqrt{0{,}96} < \sqrt[3]{0{,}96} < 1 < \sqrt[3]{5{,}1} < \sqrt[3]{7{,}4} < \sqrt{7{,}4} < \sqrt{10}\).
