Страница 101 номер 2.156, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби (примените результаты упражнения 2.155):
а) \(\frac{1}{2+\sqrt{3}}\);
б) \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\);
в) \(\frac{7-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}\);
г) \(\frac{\sqrt{11}+\sqrt{5}}{\sqrt{11}-\sqrt{5}}\);
д) \(\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{10}-3}\);
е) \(\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}+3\sqrt{3}}\).
Образец. \(\frac{2}{2+\sqrt{6}}=\frac{2(2-\sqrt{6})}{(2+\sqrt{6})(2-\sqrt{6})}=\frac{2(2-\sqrt{6})}{-2}=\sqrt{6}-2\).
а) \[\frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}.\]
б) \[\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{3 + \sqrt{6}}{3 - 2} = 3 + \sqrt{6}.\]
в) \[\begin{aligned} &\frac{7 - \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}} = \frac{(7 - \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})}{(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})} = \frac{21 - 7\sqrt{5} - 3\sqrt{5} + 5}{9 - 5} = {} \\ &= \frac{26 - 10\sqrt{5}}{4} = \frac{13 - 5\sqrt{5}}{2}. \end{aligned}\]
г) \[\begin{aligned} &\frac{\sqrt{11} + \sqrt{5}}{\sqrt{11} - \sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{11} + \sqrt{5})^2}{(\sqrt{11} - \sqrt{5})(\sqrt{11} + \sqrt{5})} = \frac{11 + 2\sqrt{55} + 5}{11 - 5} = {} \\ &= \frac{16 + 2\sqrt{55}}{6} = \frac{8 + \sqrt{55}}{3}. \end{aligned}\]
д) \[\begin{aligned} &\frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{10} - 3} = \frac{(1 + \sqrt{3})(\sqrt{10} + 3)}{(\sqrt{10} - 3)(\sqrt{10} + 3)} = \frac{\sqrt{10} + 3 + \sqrt{30} + 3\sqrt{3}}{10 - 9} = {} \\ &= \sqrt{10} + 3 + \sqrt{30} + 3\sqrt{3}. \end{aligned}\]
е) \[\begin{aligned} &\frac{3\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{2} + 3\sqrt{3}} = \frac{(3\sqrt{3} - \sqrt{2})^2}{(3\sqrt{3} + \sqrt{2})(3\sqrt{3} - \sqrt{2})} = {} \\ &= \frac{27 - 6\sqrt{6} + 2}{27 - 2} = \frac{29 - 6\sqrt{6}}{25}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(2 - \sqrt{3}\); б) \(3 + \sqrt{6}\); в) \(\frac{13 - 5\sqrt{5}}{2}\); г) \(\frac{8 + \sqrt{55}}{3}\); д) \(\sqrt{10} + 3 + \sqrt{30} + 3\sqrt{3}\); е) \(\frac{29 - 6\sqrt{6}}{25}\).
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби (примените результаты упражнения 2.155):
а) \(\frac{1}{2+\sqrt{3}}\);
б) \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\);
в) \(\frac{7-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}\);
г) \(\frac{\sqrt{11}+\sqrt{5}}{\sqrt{11}-\sqrt{5}}\);
д) \(\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{10}-3}\);
е) \(\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}+3\sqrt{3}}\).
Образец. \(\frac{2}{2+\sqrt{6}}=\frac{2(2-\sqrt{6})}{(2+\sqrt{6})(2-\sqrt{6})}=\frac{2(2-\sqrt{6})}{-2}=\sqrt{6}-2\).
Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, которое в произведении со знаменателем даёт разность квадратов: если знаменатель — сумма двух выражений, то на их разность, если разность — то на сумму. Знаменатель станет числом без радикалов.
а) \[\frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}.\]
б) \[\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{3 + \sqrt{6}}{3 - 2} = 3 + \sqrt{6}.\]
в) \[\begin{aligned} &\frac{7 - \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}} = \frac{(7 - \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})}{(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})} = \frac{21 - 7\sqrt{5} - 3\sqrt{5} + 5}{9 - 5} = {} \\ &= \frac{26 - 10\sqrt{5}}{4} = \frac{13 - 5\sqrt{5}}{2}. \end{aligned}\]
г) \[\begin{aligned} &\frac{\sqrt{11} + \sqrt{5}}{\sqrt{11} - \sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{11} + \sqrt{5})^2}{(\sqrt{11} - \sqrt{5})(\sqrt{11} + \sqrt{5})} = \frac{11 + 2\sqrt{55} + 5}{11 - 5} = {} \\ &= \frac{16 + 2\sqrt{55}}{6} = \frac{8 + \sqrt{55}}{3}. \end{aligned}\]
д) \[\begin{aligned} &\frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{10} - 3} = \frac{(1 + \sqrt{3})(\sqrt{10} + 3)}{(\sqrt{10} - 3)(\sqrt{10} + 3)} = \frac{\sqrt{10} + 3 + \sqrt{30} + 3\sqrt{3}}{10 - 9} = {} \\ &= \sqrt{10} + 3 + \sqrt{30} + 3\sqrt{3}. \end{aligned}\]
е) \[\begin{aligned} &\frac{3\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{2} + 3\sqrt{3}} = \frac{(3\sqrt{3} - \sqrt{2})^2}{(3\sqrt{3} + \sqrt{2})(3\sqrt{3} - \sqrt{2})} = {} \\ &= \frac{27 - 6\sqrt{6} + 2}{27 - 2} = \frac{29 - 6\sqrt{6}}{25}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(2 - \sqrt{3}\); б) \(3 + \sqrt{6}\); в) \(\frac{13 - 5\sqrt{5}}{2}\); г) \(\frac{8 + \sqrt{55}}{3}\); д) \(\sqrt{10} + 3 + \sqrt{30} + 3\sqrt{3}\); е) \(\frac{29 - 6\sqrt{6}}{25}\).
