Страница 101 номер 2.157, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
ИЩЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ (2.157—2.158)
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
а) \(\frac{1}{1+\sqrt{5}-\sqrt{6}}\);
б) \(\frac{12}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}\).
а) Запишем знаменатель как разность \((1 + \sqrt{5}) - \sqrt{6}\) и умножим числитель и знаменатель на сумму \((1 + \sqrt{5}) + \sqrt{6}\): \[\begin{aligned} &\frac{1}{1 + \sqrt{5} - \sqrt{6}} = \frac{1 + \sqrt{5} + \sqrt{6}}{(1 + \sqrt{5})^2 - (\sqrt{6})^2} = {} \\ &= \frac{1 + \sqrt{5} + \sqrt{6}}{1 + 2\sqrt{5} + 5 - 6} = \frac{1 + \sqrt{5} + \sqrt{6}}{2\sqrt{5}}. \end{aligned}\] В знаменателе остался один корень; умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{5}\): \[\frac{1 + \sqrt{5} + \sqrt{6}}{2\sqrt{5}} = \frac{(1 + \sqrt{5} + \sqrt{6})\sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{5 + \sqrt{5} + \sqrt{30}}{10}.\]
б) Запишем знаменатель как разность \((\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \sqrt{5}\) и умножим числитель и знаменатель на сумму \((\sqrt{2} + \sqrt{3}) + \sqrt{5}\): \[\begin{aligned} &\frac{12}{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}} = \frac{12(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2} = {} \\ &= \frac{12(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})}{2 + 2\sqrt{6} + 3 - 5} = \frac{12(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})}{2\sqrt{6}} = {} \\ &= \frac{6(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})}{\sqrt{6}}. \end{aligned}\] В знаменателе остался один корень; умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{6}\): \[\begin{aligned} &\frac{6(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})}{\sqrt{6}} = \frac{6(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})\sqrt{6}}{6} = {} \\ &= (\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})\sqrt{6} = \sqrt{12} + \sqrt{18} + \sqrt{30} = {} \\ &= 2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} + \sqrt{30}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\frac{5 + \sqrt{5} + \sqrt{30}}{10}\); б) \(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} + \sqrt{30}\).
ИЩЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ (2.157—2.158)
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
а) \(\frac{1}{1+\sqrt{5}-\sqrt{6}}\);
б) \(\frac{12}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}\).
Знаменатель — сумма трёх слагаемых. Два из них объединим в скобки, а числитель и знаменатель умножим на такое выражение, чтобы в знаменателе получилась разность квадратов. В ней останется один корень — от него освободимся, умножив числитель и знаменатель на этот корень.
а) Запишем знаменатель как разность \((1 + \sqrt{5}) - \sqrt{6}\) и умножим числитель и знаменатель на сумму \((1 + \sqrt{5}) + \sqrt{6}\): \[\begin{aligned} &\frac{1}{1 + \sqrt{5} - \sqrt{6}} = \frac{1 + \sqrt{5} + \sqrt{6}}{(1 + \sqrt{5})^2 - (\sqrt{6})^2} = {} \\ &= \frac{1 + \sqrt{5} + \sqrt{6}}{1 + 2\sqrt{5} + 5 - 6} = \frac{1 + \sqrt{5} + \sqrt{6}}{2\sqrt{5}}. \end{aligned}\] В знаменателе остался один корень; умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{5}\): \[\frac{1 + \sqrt{5} + \sqrt{6}}{2\sqrt{5}} = \frac{(1 + \sqrt{5} + \sqrt{6})\sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{5 + \sqrt{5} + \sqrt{30}}{10}.\]
б) Запишем знаменатель как разность \((\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \sqrt{5}\) и умножим числитель и знаменатель на сумму \((\sqrt{2} + \sqrt{3}) + \sqrt{5}\): \[\begin{aligned} &\frac{12}{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}} = \frac{12(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2} = {} \\ &= \frac{12(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})}{2 + 2\sqrt{6} + 3 - 5} = \frac{12(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})}{2\sqrt{6}} = {} \\ &= \frac{6(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})}{\sqrt{6}}. \end{aligned}\] В знаменателе остался один корень; умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{6}\): \[\begin{aligned} &\frac{6(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})}{\sqrt{6}} = \frac{6(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})\sqrt{6}}{6} = {} \\ &= (\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})\sqrt{6} = \sqrt{12} + \sqrt{18} + \sqrt{30} = {} \\ &= 2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} + \sqrt{30}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\frac{5 + \sqrt{5} + \sqrt{30}}{10}\); б) \(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} + \sqrt{30}\).
