Страница 100 номер 2.148, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева

По правилу умножения корней \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}\), где \(a \geqslant 0\) и \(b \geqslant 0\). В каждом пункте подкоренные выражения положительны, а под общим корнем получается произведение суммы двух выражений и их разности — оно равно разности квадратов этих выражений.

а) \(2 - \sqrt{3} > 0\), так как \(\sqrt{3} < \sqrt{4} = 2\): \[\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}} = \sqrt{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \sqrt{4 - 3} = 1.\]

б) \(4 - \sqrt{7} > 0\), так как \(\sqrt{7} < \sqrt{16} = 4\): \[\sqrt{4 - \sqrt{7}} \cdot \sqrt{4 + \sqrt{7}} = \sqrt{(4 - \sqrt{7})(4 + \sqrt{7})} = \sqrt{16 - 7} = \sqrt{9} = 3.\]

в) \(\sqrt{30} - \sqrt{5} > 0\), так как \(30 > 5\): \[\begin{aligned} &\frac{\sqrt{\sqrt{30} - \sqrt{5}}}{5} \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{30} + \sqrt{5}}}{5} = \frac{\sqrt{(\sqrt{30} - \sqrt{5})(\sqrt{30} + \sqrt{5})}}{25} = {} \\ &= \frac{\sqrt{30 - 5}}{25} = \frac{\sqrt{25}}{25} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}. \end{aligned}\]

г) \(\sqrt{15} - \sqrt{3} > 0\), так как \(15 > 3\): \[\begin{aligned} &\frac{\sqrt{\sqrt{3} + \sqrt{15}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{15} - \sqrt{3}}}{3} = \frac{\sqrt{(\sqrt{15} + \sqrt{3})(\sqrt{15} - \sqrt{3})}}{6} = {} \\ &= \frac{\sqrt{15 - 3}}{6} = \frac{\sqrt{12}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}. \end{aligned}\]

Ответ: а) \(1\); б) \(3\); в) \(\frac{1}{5}\); г) \(\frac{\sqrt{3}}{3}\).