Вопросы после параграфа 2.8 на странице 104, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева

Глава 2. Квадратные корни. 2.8. Кубический корень. Страница 104, вопросы после параграфа 2.8

1. 1) Какое число называют кубическим корнем? Как его обозначают (фрагменты 1 и 2)? 2) Докажите, что: \(\sqrt[3]{216}=6\); \(\sqrt[3]{-125}=-5\).

1) Кубическим корнем из числа \(a\) называют число \(b\), куб которого равен \(a\): \(b^3 = a\). Кубический корень существует для любого числа \(a\), и он единственный: прямая \(y = a\) при любом \(a\) пересекает кубическую параболу \(y = x^3\), причём только в одной точке. Обозначают его символом \(\sqrt[3]{a}\).

2) Кубический корень из числа единствен, поэтому равенство \(\sqrt[3]{a} = b\) верно, если \(b^3 = a\).

\(6^3 = 216\), поэтому \(\sqrt[3]{216} = 6\).

\((-5)^3 = -125\), поэтому \(\sqrt[3]{-125} = -5\).

Ответ: 1) кубическим корнем из числа \(a\) называют число \(b\), для которого \(b^3 = a\); его обозначают \(\sqrt[3]{a}\); 2) равенства верны, так как \(6^3 = 216\) и \((-5)^3 = -125\).

2. 1) При каких значениях переменной имеет смысл выражение \(\sqrt{a}\)? выражение \(\sqrt[3]{a}\)? 2) Какие из выражений не имеют смысла: \(\sqrt{10}\); \(\sqrt[3]{15}\); \(\sqrt[3]{-100}\); \(\sqrt{-100}\); \(\sqrt[3]{-50}\); \(-\sqrt{50}\)?

1) Выражение \(\sqrt{a}\) имеет смысл только при \(a \geqslant 0\): квадрат любого числа неотрицателен. Выражение \(\sqrt[3]{a}\) имеет смысл при любом \(a\): кубический корень существует из любого числа.

2) Выражения \(\sqrt[3]{15}\), \(\sqrt[3]{-100}\) и \(\sqrt[3]{-50}\) имеют смысл: кубический корень извлекается из любого числа.

Выражения \(\sqrt{10}\) и \(-\sqrt{50}\) имеют смысл: под знаком квадратного корня положительные числа, а \(-\sqrt{50}\) — число, противоположное \(\sqrt{50}\).

Не имеет смысла только выражение \(\sqrt{-100}\): под знаком квадратного корня отрицательное число.

Ответ: 1) \(\sqrt{a}\) — при \(a \geqslant 0\), \(\sqrt[3]{a}\) — при любом \(a\); 2) не имеет смысла только выражение \(\sqrt{-100}\).

3. Решите уравнение (фрагмент 3): а) \(x^3=0{,}001\); б) \(x^3=-27\); в) \(x^3=-1\); г) \(x^3=0\).

Уравнение \(x^3 = a\) при любом \(a\) имеет единственный корень — число \(\sqrt[3]{a}\).

а) \(x = \sqrt[3]{0{,}001} = 0{,}1\), так как \((0{,}1)^3 = 0{,}001\).

б) \(x = \sqrt[3]{-27} = -3\), так как \((-3)^3 = -27\).

в) \(x = \sqrt[3]{-1} = -1\), так как \((-1)^3 = -1\).

г) \(x = \sqrt[3]{0} = 0\), так как \(0^3 = 0\).

Ответ: а) \(0{,}1\); б) \(-3\); в) \(-1\); г) \(0\).

1) Кубическим корнем из числа \(a\) называют число \(b\), куб которого равен \(a\): \(b^3 = a\). Иначе говоря, кубический корень из числа \(a\) — это корень уравнения \(x^3 = a\). Кубический корень существует для любого числа \(a\), и он единственный: горизонтальная прямая \(y = a\) при любом \(a\) пересекает кубическую параболу \(y = x^3\), причём только в одной точке. Кубический корень из числа \(a\) обозначают символом \(\sqrt[3]{a}\).

2) Кубический корень из числа единствен, поэтому равенство \(\sqrt[3]{a} = b\) верно, если \(b^3 = a\).

Так как \(6^3 = 216\), то \(\sqrt[3]{216} = 6\); так как \((-5)^3 = -125\), то \(\sqrt[3]{-125} = -5\).

1) Выражение \(\sqrt{a}\) имеет смысл только при \(a \geqslant 0\): квадрат любого числа неотрицателен, поэтому числа, квадрат которого равен отрицательному числу, не существует. Выражение \(\sqrt[3]{a}\) имеет смысл при любом \(a\): кубический корень существует и из положительного числа, и из отрицательного, и из нуля.

2) Кубические корни \(\sqrt[3]{15}\), \(\sqrt[3]{-100}\) и \(\sqrt[3]{-50}\) имеют смысл: кубический корень извлекается из любого числа. Выражения \(\sqrt{10}\) и \(-\sqrt{50}\) тоже имеют смысл: под знаком квадратного корня стоят положительные числа, а \(-\sqrt{50}\) — число, противоположное числу \(\sqrt{50}\). Не имеет смысла только выражение \(\sqrt{-100}\): под знаком квадратного корня стоит отрицательное число.