Страница 102 номер 2.161, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Вынесите множитель из-под знака корня:
а) \(\sqrt{2x^3}\);
б) \(\sqrt{\frac{x^5}{6}}\);
в) \(\sqrt{\frac{x^3}{y^3}}\);
г) \(\sqrt{(x+y)^3}\).
а) Выражение имеет смысл при \(2x^3 \geqslant 0\), то есть при \(x \geqslant 0\): куб отрицательного числа отрицателен. Поэтому \(|x| = x\): \[\sqrt{2x^3} = \sqrt{x^2 \cdot 2x} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{2x} = |x|\sqrt{2x} = x\sqrt{2x}.\]
б) Выражение имеет смысл при \(x^5 \geqslant 0\), то есть при \(x \geqslant 0\); множитель \(x^2\) неотрицателен, поэтому \(|x^2| = x^2\): \[\sqrt{\frac{x^5}{6}} = \sqrt{(x^2)^2 \cdot \frac{x}{6}} = \sqrt{(x^2)^2} \cdot \sqrt{\frac{x}{6}} = |x^2|\sqrt{\frac{x}{6}} = x^2\sqrt{\frac{x}{6}}.\]
в) Выражение имеет смысл при \(y \ne 0\) и \(\frac{x^3}{y^3} = \left(\frac{x}{y}\right)^3 \geqslant 0\), то есть при \(\frac{x}{y} \geqslant 0\). Числа \(x\) и \(y\) могут быть и оба отрицательными, поэтому корень из дроби не заменяем частным корней, а выносим из-под знака корня множитель \(\frac{x}{y}\): \[\sqrt{\frac{x^3}{y^3}} = \sqrt{\left(\frac{x}{y}\right)^2 \cdot \frac{x}{y}} = \sqrt{\left(\frac{x}{y}\right)^2} \cdot \sqrt{\frac{x}{y}} = \left|\frac{x}{y}\right| \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{x}{y}\sqrt{\frac{x}{y}}.\]
г) Выражение имеет смысл при \((x + y)^3 \geqslant 0\), то есть при \(x + y \geqslant 0\). Поэтому \(|x + y| = x + y\): \[\begin{aligned} &\sqrt{(x + y)^3} = \sqrt{(x + y)^2(x + y)} = \sqrt{(x + y)^2} \cdot \sqrt{x + y} = {} \\ &= |x + y|\sqrt{x + y} = (x + y)\sqrt{x + y}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(x\sqrt{2x}\); б) \(x^2\sqrt{\frac{x}{6}}\); в) \(\frac{x}{y}\sqrt{\frac{x}{y}}\); г) \((x + y)\sqrt{x + y}\).
Вынесите множитель из-под знака корня:
а) \(\sqrt{2x^3}\);
б) \(\sqrt{\frac{x^5}{6}}\);
в) \(\sqrt{\frac{x^3}{y^3}}\);
г) \(\sqrt{(x+y)^3}\).
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным; отсюда находим знак множителя, который выносим из-под знака корня, и раскрываем модуль по равенству \(\sqrt{x^2} = |x|\).
а) Выражение имеет смысл при \(2x^3 \geqslant 0\), то есть при \(x \geqslant 0\): куб отрицательного числа отрицателен. Поэтому \(|x| = x\): \[\sqrt{2x^3} = \sqrt{x^2 \cdot 2x} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{2x} = |x|\sqrt{2x} = x\sqrt{2x}.\]
б) Выражение имеет смысл при \(x^5 \geqslant 0\), то есть при \(x \geqslant 0\); множитель \(x^2\) неотрицателен, поэтому \(|x^2| = x^2\): \[\sqrt{\frac{x^5}{6}} = \sqrt{(x^2)^2 \cdot \frac{x}{6}} = \sqrt{(x^2)^2} \cdot \sqrt{\frac{x}{6}} = |x^2|\sqrt{\frac{x}{6}} = x^2\sqrt{\frac{x}{6}}.\]
в) Выражение имеет смысл при \(y \ne 0\) и \(\frac{x^3}{y^3} = \left(\frac{x}{y}\right)^3 \geqslant 0\), то есть при \(\frac{x}{y} \geqslant 0\). Числа \(x\) и \(y\) могут быть и оба отрицательными, поэтому корень из дроби не заменяем частным корней, а выделяем под корнем множитель \(\left(\frac{x}{y}\right)^2\) и выносим из-под знака корня множитель \(\frac{x}{y}\): \[\sqrt{\frac{x^3}{y^3}} = \sqrt{\left(\frac{x}{y}\right)^2 \cdot \frac{x}{y}} = \sqrt{\left(\frac{x}{y}\right)^2} \cdot \sqrt{\frac{x}{y}} = \left|\frac{x}{y}\right| \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{x}{y}\sqrt{\frac{x}{y}}.\]
г) Выражение имеет смысл при \((x + y)^3 \geqslant 0\), то есть при \(x + y \geqslant 0\). Поэтому \(|x + y| = x + y\): \[\begin{aligned} &\sqrt{(x + y)^3} = \sqrt{(x + y)^2(x + y)} = \sqrt{(x + y)^2} \cdot \sqrt{x + y} = {} \\ &= |x + y|\sqrt{x + y} = (x + y)\sqrt{x + y}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(x\sqrt{2x}\); б) \(x^2\sqrt{\frac{x}{6}}\); в) \(\frac{x}{y}\sqrt{\frac{x}{y}}\); г) \((x + y)\sqrt{x + y}\).
