Страница 101 номер 2.155, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
РАССУЖДАЕМ. На какое выражение нужно умножить данный двучлен, чтобы получившееся произведение не содержало радикалов? Проверьте себя, выполнив умножение:
1) \((2+\sqrt{3})\cdot\ldots\);
2) \((2\sqrt{5}-1)\cdot\ldots\);
3) \((\sqrt{7}-\sqrt{5})\cdot\ldots\);
4) \((x+a\sqrt{y})\cdot\ldots\);
5) \(\sqrt{m}+\sqrt{n}\);
6) \(\sqrt{a}-\sqrt{b}\).
Каков общий приём выполнения этого задания?
\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\) и \((\sqrt{c})^2 = c\) при \(c \geqslant 0\), поэтому сумму двух выражений надо умножить на разность тех же выражений, а разность — на их сумму.
1) \[(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1.\]
2) \[(2\sqrt{5} - 1)(2\sqrt{5} + 1) = (2\sqrt{5})^2 - 1^2 = 20 - 1 = 19.\]
3) \[(\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2 = 7 - 5 = 2.\]
4) Выражение имеет смысл при \(y \geqslant 0\): \[(x + a\sqrt{y})(x - a\sqrt{y}) = x^2 - (a\sqrt{y})^2 = x^2 - a^2y.\]
5) Выражение имеет смысл при \(m \geqslant 0\) и \(n \geqslant 0\): \[(\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt{m} - \sqrt{n}) = (\sqrt{m})^2 - (\sqrt{n})^2 = m - n.\]
6) Выражение имеет смысл при \(a \geqslant 0\) и \(b \geqslant 0\): \[(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = a - b.\]
Ответ: 1) на \(2 - \sqrt{3}\), произведение равно \(1\); 2) на \(2\sqrt{5} + 1\), произведение равно \(19\); 3) на \(\sqrt{7} + \sqrt{5}\), произведение равно \(2\); 4) на \(x - a\sqrt{y}\), произведение равно \(x^2 - a^2y\); 5) на \(\sqrt{m} - \sqrt{n}\), произведение равно \(m - n\); 6) на \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\), произведение равно \(a - b\). Общий приём: сумму двух выражений умножают на их разность, а разность — на их сумму; произведение равно разности квадратов этих выражений и радикалов не содержит.
РАССУЖДАЕМ. На какое выражение нужно умножить данный двучлен, чтобы получившееся произведение не содержало радикалов? Проверьте себя, выполнив умножение:
1) \((2+\sqrt{3})\cdot\ldots\);
2) \((2\sqrt{5}-1)\cdot\ldots\);
3) \((\sqrt{7}-\sqrt{5})\cdot\ldots\);
4) \((x+a\sqrt{y})\cdot\ldots\);
5) \(\sqrt{m}+\sqrt{n}\);
6) \(\sqrt{a}-\sqrt{b}\).
Каков общий приём выполнения этого задания?
Произведение суммы двух выражений и их разности равно разности квадратов этих выражений: \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\), а квадрат корня равен подкоренному выражению: \((\sqrt{c})^2 = c\) при \(c \geqslant 0\). Поэтому сумму надо умножить на разность тех же выражений, а разность — на их сумму.
1) \[(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1.\]
2) \[(2\sqrt{5} - 1)(2\sqrt{5} + 1) = (2\sqrt{5})^2 - 1^2 = 20 - 1 = 19.\]
3) \[(\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2 = 7 - 5 = 2.\]
4) Выражение имеет смысл при \(y \geqslant 0\): \[(x + a\sqrt{y})(x - a\sqrt{y}) = x^2 - (a\sqrt{y})^2 = x^2 - a^2y.\]
5) Выражение имеет смысл при \(m \geqslant 0\) и \(n \geqslant 0\): \[(\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt{m} - \sqrt{n}) = (\sqrt{m})^2 - (\sqrt{n})^2 = m - n.\]
6) Выражение имеет смысл при \(a \geqslant 0\) и \(b \geqslant 0\): \[(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = a - b.\]
Ответ: 1) на \(2 - \sqrt{3}\), произведение равно \(1\); 2) на \(2\sqrt{5} + 1\), произведение равно \(19\); 3) на \(\sqrt{7} + \sqrt{5}\), произведение равно \(2\); 4) на \(x - a\sqrt{y}\), произведение равно \(x^2 - a^2y\); 5) на \(\sqrt{m} - \sqrt{n}\), произведение равно \(m - n\); 6) на \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\), произведение равно \(a - b\). Общий приём: сумму двух выражений умножают на их разность, а разность — на их сумму; произведение равно разности квадратов этих выражений и радикалов не содержит.
