Страница 101 номер 2.158, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
ИЩЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ (2.157—2.158)
Упростите выражение (буквами обозначены положительные числа):
а) \(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}-\frac{\sqrt{ab}}{a}\);
б) \(\sqrt{\frac{1}{x}}+\sqrt{\frac{1}{y}}-\frac{\sqrt{x}}{x}+\frac{\sqrt{y}}{y}\).
Буквами обозначены положительные числа, поэтому корень из дроби равен частному корней из числителя и знаменателя.
а) \[\begin{aligned} \sqrt{\frac{a}{b}} &= \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}}{(\sqrt{b})^2} = \frac{\sqrt{ab}}{b}; \\ \sqrt{\frac{b}{a}} &= \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{b} \cdot \sqrt{a}}{(\sqrt{a})^2} = \frac{\sqrt{ab}}{a}. \end{aligned}\] Тогда \[\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}} - \frac{\sqrt{ab}}{a} = \frac{\sqrt{ab}}{b} + \frac{\sqrt{ab}}{a} - \frac{\sqrt{ab}}{a} = \frac{\sqrt{ab}}{b}.\]
б) \[\begin{aligned} \sqrt{\frac{1}{x}} &= \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x})^2} = \frac{\sqrt{x}}{x}; \\ \sqrt{\frac{1}{y}} &= \frac{1}{\sqrt{y}} = \frac{\sqrt{y}}{(\sqrt{y})^2} = \frac{\sqrt{y}}{y}. \end{aligned}\] Тогда \[\sqrt{\frac{1}{x}} + \sqrt{\frac{1}{y}} - \frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{\sqrt{y}}{y} = \frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{\sqrt{y}}{y} - \frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{\sqrt{y}}{y} = \frac{2\sqrt{y}}{y}.\]
Ответ: а) \(\frac{\sqrt{ab}}{b}\); б) \(\frac{2\sqrt{y}}{y}\).
ИЩЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ (2.157—2.158)
Упростите выражение (буквами обозначены положительные числа):
а) \(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}-\frac{\sqrt{ab}}{a}\);
б) \(\sqrt{\frac{1}{x}}+\sqrt{\frac{1}{y}}-\frac{\sqrt{x}}{x}+\frac{\sqrt{y}}{y}\).
Буквами обозначены положительные числа, поэтому корень из дроби равен частному корней из числителя и знаменателя. Освободимся от иррациональности в знаменателях: умножим числитель и знаменатель каждой такой дроби на корень из знаменателя.
а) \[\begin{aligned} \sqrt{\frac{a}{b}} &= \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}}{(\sqrt{b})^2} = \frac{\sqrt{ab}}{b}; \\ \sqrt{\frac{b}{a}} &= \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{b} \cdot \sqrt{a}}{(\sqrt{a})^2} = \frac{\sqrt{ab}}{a}. \end{aligned}\] Тогда \[\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}} - \frac{\sqrt{ab}}{a} = \frac{\sqrt{ab}}{b} + \frac{\sqrt{ab}}{a} - \frac{\sqrt{ab}}{a} = \frac{\sqrt{ab}}{b}.\]
б) \[\begin{aligned} \sqrt{\frac{1}{x}} &= \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x})^2} = \frac{\sqrt{x}}{x}; \\ \sqrt{\frac{1}{y}} &= \frac{1}{\sqrt{y}} = \frac{\sqrt{y}}{(\sqrt{y})^2} = \frac{\sqrt{y}}{y}. \end{aligned}\] Тогда \[\sqrt{\frac{1}{x}} + \sqrt{\frac{1}{y}} - \frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{\sqrt{y}}{y} = \frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{\sqrt{y}}{y} - \frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{\sqrt{y}}{y} = \frac{2\sqrt{y}}{y}.\]
Ответ: а) \(\frac{\sqrt{ab}}{b}\); б) \(\frac{2\sqrt{y}}{y}\).
