Страница 101 номер 2.153, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Упростите выражение:
а) \(\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}\);
б) \(\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\).
а) Общий знаменатель дробей — \((\sqrt{6} + \sqrt{5})(\sqrt{6} - \sqrt{5}) = 6 - 5 = 1\); дополнительный множитель первой дроби — \(\sqrt{6} - \sqrt{5}\), второй — \(\sqrt{6} + \sqrt{5}\): \[\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{5}) + (\sqrt{6} + \sqrt{5})}{1} = 2\sqrt{6}.\]
б) Общий знаменатель дробей — \((\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 3 - 2 = 1\); дополнительный множитель первой дроби — \(\sqrt{3} - \sqrt{2}\), второй — \(\sqrt{3} + \sqrt{2}\): \[\begin{aligned} &\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} - \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 - (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2}{1} = {} \\ &= (3 - 2\sqrt{6} + 2) - (3 + 2\sqrt{6} + 2) = -4\sqrt{6}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(2\sqrt{6}\); б) \(-4\sqrt{6}\).
