Страница 102 номер 2.164, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
ИССЛЕДУЕМ.
1) Заметьте закономерность и запишите следующие три числа в последовательности: \(2\frac{2}{3}\), \(3\frac{3}{8}\), \(4\frac{4}{15}\), \(5\frac{5}{24}\), ... .
2) Проверьте равенства: \(\sqrt{2\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}\), \(\sqrt{3\frac{3}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}\), \(\sqrt{4\frac{4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}\).
Составьте несколько аналогичных равенств.
3) Запишите соответствующее равенство в буквенном виде и докажите его.
1) В каждом числе целая часть равна числителю дробной части, а знаменатель на 1 меньше квадрата целой части: \(3 = 2^2 - 1\), \(8 = 3^2 - 1\), \(15 = 4^2 - 1\), \(24 = 5^2 - 1\).
У следующих трёх чисел целые части 6, 7 и 8, а знаменатели \(6^2 - 1 = 35\), \(7^2 - 1 = 48\) и \(8^2 - 1 = 63\); это числа \(6\frac{6}{35}\), \(7\frac{7}{48}\), \(8\frac{8}{63}\).
2) Множители перед корнями положительны. \[\begin{aligned} 2\sqrt{\frac{2}{3}} &= \sqrt{4 \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}} = \sqrt{2\frac{2}{3}}; \\ 3\sqrt{\frac{3}{8}} &= \sqrt{9 \cdot \frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{27}{8}} = \sqrt{3\frac{3}{8}}; \\ 4\sqrt{\frac{4}{15}} &= \sqrt{16 \cdot \frac{4}{15}} = \sqrt{\frac{64}{15}} = \sqrt{4\frac{4}{15}}. \end{aligned}\] Все три равенства верны. Аналогичные равенства: \[\begin{aligned} \sqrt{5\frac{5}{24}} &= 5\sqrt{\frac{5}{24}}; \\ \sqrt{6\frac{6}{35}} &= 6\sqrt{\frac{6}{35}}; \\ \sqrt{7\frac{7}{48}} &= 7\sqrt{\frac{7}{48}}. \end{aligned}\] Они тоже верны; например, \(5\sqrt{\frac{5}{24}} = \sqrt{\frac{25 \cdot 5}{24}} = \sqrt{\frac{125}{24}} = \sqrt{5\frac{5}{24}}\).
3) Число последовательности с целой частью \(n\) равно \(n + \frac{n}{n^2 - 1}\), где \(n\) — натуральное число, \(n \geqslant 2\) (при \(n = 1\) знаменатель \(n^2 - 1\) обращается в нуль). Соответствующее равенство: \[\sqrt{n + \frac{n}{n^2 - 1}} = n\sqrt{\frac{n}{n^2 - 1}}.\] Множитель \(n\) вынесем из-под знака корня: при натуральном \(n\) число \(n\) положительно, поэтому \(\sqrt{n^2} = n\). \[\begin{aligned} &\sqrt{n + \frac{n}{n^2 - 1}} = \sqrt{\frac{n(n^2 - 1) + n}{n^2 - 1}} = \sqrt{\frac{n^3}{n^2 - 1}} = {} \\ &= \sqrt{n^2 \cdot \frac{n}{n^2 - 1}} = \sqrt{n^2} \cdot \sqrt{\frac{n}{n^2 - 1}} = n\sqrt{\frac{n}{n^2 - 1}}. \end{aligned}\] Равенство доказано.
Ответ: 1) \(6\frac{6}{35}\), \(7\frac{7}{48}\), \(8\frac{8}{63}\); 2) равенства верны; аналогичные равенства: \(\sqrt{5\frac{5}{24}} = 5\sqrt{\frac{5}{24}}\), \(\sqrt{6\frac{6}{35}} = 6\sqrt{\frac{6}{35}}\), \(\sqrt{7\frac{7}{48}} = 7\sqrt{\frac{7}{48}}\); 3) \(\sqrt{n + \frac{n}{n^2 - 1}} = n\sqrt{\frac{n}{n^2 - 1}}\) при любом натуральном \(n \geqslant 2\).
ИССЛЕДУЕМ.
1) Заметьте закономерность и запишите следующие три числа в последовательности: \(2\frac{2}{3}\), \(3\frac{3}{8}\), \(4\frac{4}{15}\), \(5\frac{5}{24}\), ... .
2) Проверьте равенства: \(\sqrt{2\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}\), \(\sqrt{3\frac{3}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}\), \(\sqrt{4\frac{4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}\).
Составьте несколько аналогичных равенств.
3) Запишите соответствующее равенство в буквенном виде и докажите его.
1) В каждом числе целая часть равна числителю дробной части, а знаменатель на 1 меньше квадрата целой части: \(3 = 2^2 - 1\), \(8 = 3^2 - 1\), \(15 = 4^2 - 1\), \(24 = 5^2 - 1\). У следующих трёх чисел целые части 6, 7 и 8, а знаменатели \(6^2 - 1 = 35\), \(7^2 - 1 = 48\) и \(8^2 - 1 = 63\); это числа \(6\frac{6}{35}\), \(7\frac{7}{48}\), \(8\frac{8}{63}\).
2) Внесём положительный множитель перед корнем под знак корня и запишем подкоренную дробь смешанным числом: \[\begin{aligned} 2\sqrt{\frac{2}{3}} &= \sqrt{4 \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}} = \sqrt{2\frac{2}{3}}; \\ 3\sqrt{\frac{3}{8}} &= \sqrt{9 \cdot \frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{27}{8}} = \sqrt{3\frac{3}{8}}; \\ 4\sqrt{\frac{4}{15}} &= \sqrt{16 \cdot \frac{4}{15}} = \sqrt{\frac{64}{15}} = \sqrt{4\frac{4}{15}}. \end{aligned}\] Все три равенства верны. По той же закономерности составим аналогичные равенства: \[\begin{aligned} \sqrt{5\frac{5}{24}} &= 5\sqrt{\frac{5}{24}}; \\ \sqrt{6\frac{6}{35}} &= 6\sqrt{\frac{6}{35}}; \\ \sqrt{7\frac{7}{48}} &= 7\sqrt{\frac{7}{48}}. \end{aligned}\] Они тоже верны; например, \(5\sqrt{\frac{5}{24}} = \sqrt{\frac{25 \cdot 5}{24}} = \sqrt{\frac{125}{24}} = \sqrt{5\frac{5}{24}}\).
3) Число последовательности с целой частью \(n\) равно \(n + \frac{n}{n^2 - 1}\), где \(n\) — натуральное число, \(n \geqslant 2\) (при \(n = 1\) знаменатель \(n^2 - 1\) обращается в нуль). Соответствующее равенство: \[\sqrt{n + \frac{n}{n^2 - 1}} = n\sqrt{\frac{n}{n^2 - 1}}.\] Докажем его. Сумму под корнем приведём к общему знаменателю, а множитель \(n\) вынесем из-под знака корня: при натуральном \(n\) число \(n\) положительно, поэтому \(\sqrt{n^2} = n\). \[\begin{aligned} &\sqrt{n + \frac{n}{n^2 - 1}} = \sqrt{\frac{n(n^2 - 1) + n}{n^2 - 1}} = \sqrt{\frac{n^3}{n^2 - 1}} = {} \\ &= \sqrt{n^2 \cdot \frac{n}{n^2 - 1}} = \sqrt{n^2} \cdot \sqrt{\frac{n}{n^2 - 1}} = n\sqrt{\frac{n}{n^2 - 1}}. \end{aligned}\] Равенство доказано.
Ответ: 1) \(6\frac{6}{35}\), \(7\frac{7}{48}\), \(8\frac{8}{63}\); 2) равенства верны; аналогичные равенства: \(\sqrt{5\frac{5}{24}} = 5\sqrt{\frac{5}{24}}\), \(\sqrt{6\frac{6}{35}} = 6\sqrt{\frac{6}{35}}\), \(\sqrt{7\frac{7}{48}} = 7\sqrt{\frac{7}{48}}\); 3) \(\sqrt{n + \frac{n}{n^2 - 1}} = n\sqrt{\frac{n}{n^2 - 1}}\) при любом натуральном \(n \geqslant 2\).
