Страница 106 номер 2.173, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Решите уравнение:
а) \(x^3=1000\);
б) \(x^3=-0{,}008\);
в) \(x^3-0{,}125=0\);
г) \(x^3+1=0\);
д) \(2x^3-6=0\);
е) \(3x^3+36=0\).
Если корень уравнения — число иррациональное, найдите его десятичное приближение с двумя знаками после запятой.
Уравнение \(x^3 = a\) при любом \(a\) имеет единственный корень — число \(\sqrt[3]{a}\).
а) \(x = \sqrt[3]{1000} = 10\), так как \(10^3 = 1000\).
б) \(x = \sqrt[3]{-0{,}008} = -0{,}2\), так как \((-0{,}2)^3 = -0{,}008\).
в) \(x^3 - 0{,}125 = 0\), \(x^3 = 0{,}125\), \(x = \sqrt[3]{0{,}125} = 0{,}5\), так как \(0{,}5^3 = 0{,}125\).
г) \(x^3 + 1 = 0\), \(x^3 = -1\), \(x = \sqrt[3]{-1} = -1\), так как \((-1)^3 = -1\).
д) \[\begin{aligned} 2x^3 - 6 &= 0; \\ 2x^3 &= 6; \qquad | : 2 \\ x^3 &= 3; \\ x &= \sqrt[3]{3}. \end{aligned}\]
Число 3 не является кубом ни целого числа (\(1^3 < 3 < 2^3\)), ни дробного (куб несократимой дроби со знаменателем, не равным 1, — не целое число), поэтому \(\sqrt[3]{3}\) — число иррациональное; \(\sqrt[3]{3} \approx 1{,}44225 \approx 1{,}44\).
е) \[\begin{aligned} 3x^3 + 36 &= 0; \\ 3x^3 &= -36; \qquad | : 3 \\ x^3 &= -12; \\ x &= \sqrt[3]{-12} = -\sqrt[3]{12}. \end{aligned}\]
Число 12 не является кубом ни целого числа (\(2^3 < 12 < 3^3\)), ни дробного, поэтому корень — число иррациональное; \(\sqrt[3]{12} \approx 2{,}28943 \approx 2{,}29\), значит, \(x \approx -2{,}29\).
Ответ: а) \(10\); б) \(-0{,}2\); в) \(0{,}5\); г) \(-1\); д) \(\sqrt[3]{3} \approx 1{,}44\); е) \(-\sqrt[3]{12} \approx -2{,}29\).
Решите уравнение:
а) \(x^3=1000\);
б) \(x^3=-0{,}008\);
в) \(x^3-0{,}125=0\);
г) \(x^3+1=0\);
д) \(2x^3-6=0\);
е) \(3x^3+36=0\).
Если корень уравнения — число иррациональное, найдите его десятичное приближение с двумя знаками после запятой.
Уравнение \(x^3 = a\) при любом \(a\) имеет единственный корень — число \(\sqrt[3]{a}\).
а) \(x = \sqrt[3]{1000} = 10\), так как \(10^3 = 1000\).
б) \(x = \sqrt[3]{-0{,}008} = -0{,}2\), так как \((-0{,}2)^3 = -0{,}008\).
в) \(x^3 - 0{,}125 = 0\), \(x^3 = 0{,}125\), \(x = \sqrt[3]{0{,}125} = 0{,}5\), так как \(0{,}5^3 = 0{,}125\).
г) \(x^3 + 1 = 0\), \(x^3 = -1\), \(x = \sqrt[3]{-1} = -1\), так как \((-1)^3 = -1\).
д) \[\begin{aligned} 2x^3 - 6 &= 0; \\ 2x^3 &= 6; \qquad | : 2 \\ x^3 &= 3; \\ x &= \sqrt[3]{3}. \end{aligned}\]
Число 3 не является кубом ни целого, ни дробного числа: \(1^3 < 3 < 2^3\), а куб несократимой дроби со знаменателем, не равным 1, — снова несократимая дробь со знаменателем, не равным 1, а не целое число. Поэтому корень \(\sqrt[3]{3}\) — число иррациональное. С помощью калькулятора находим \(\sqrt[3]{3} \approx 1{,}44225 \approx 1{,}44\).
е) \[\begin{aligned} 3x^3 + 36 &= 0; \\ 3x^3 &= -36; \qquad | : 3 \\ x^3 &= -12; \\ x &= \sqrt[3]{-12} = -\sqrt[3]{12}. \end{aligned}\]
Так же, как в пункте д), число 12 не является кубом ни целого числа (\(2^3 < 12 < 3^3\)), ни дробного, поэтому корень — число иррациональное. С помощью калькулятора находим \(\sqrt[3]{12} \approx 2{,}28943 \approx 2{,}29\), значит, \(x \approx -2{,}29\).
Ответ: а) \(10\); б) \(-0{,}2\); в) \(0{,}5\); г) \(-1\); д) \(\sqrt[3]{3} \approx 1{,}44\); е) \(-\sqrt[3]{12} \approx -2{,}29\).
